Hat タイル
帽子の形をした13角形1種類で平面を埋める並べ方を、原論文の置換規則で世代を重ねて作った。裏返した帽子の数は、表の帽子の数を黄金比の4乗で割った数に近づいていく。
なにか
「たった1種類のタイルで平面を隙間なく埋められて、しかも配置が周期的に繰り返さない形はあるか」。50年以上解かれていなかったこの「アインシュタイン問題」に、2023年に答えを出したのがこの形である。見つけたデイヴィッド・スミスは数学者ではなく、イギリスの印刷技術者だった。帽子（hat）と呼ばれる13角形で、六角格子のカイト8個をつないだだけの形をしている。裏返したタイルが一定の割合（1 : φ⁴）で入るのが特徴で、裏返しを使わずに済むよう形を変えたものが Spectre タイルである。
どう作ったか
原論文の H・T・P・F の4種メタタイル置換系を実装した。メタタイル29個のパッチを組み、そこから次の世代のメタタイルを切り出す操作を3回繰り返して、帽子1,156枚を作った。帽子の枚数と裏返しの枚数は置換行列から出る値と一致し、1,156枚はすべて合同で、表と裏返しの枚数比は世代を重ねるほど黄金比の4乗に近づいた。
自分で動かす
下の絵は、ページを開いたその場で上の図と同じ計算をしている。置換の世代を 0 から 4 へ動かすと、4 枚の帽子が 7,921 枚まで増えていく。枚数は毎回、式 F(2k+3)²（F はフィボナッチ数）と比べて表示する。
- 帽子の枚数
- —
- 式 F(2k+3)² との一致
- —
- 鏡映の帽子（枚数／割合）
- —
スライダーで決めた世代の Hat タイリングのパッチ
鏡映の帽子は H メタタイルに 1 枚ずつしか入らないので、その割合は世代を重ねると 0.127 前後に落ち着く（k=2〜4 で 0.130・0.127・0.127）。上の図は世代 3（1,156 枚）の中央を正方形に切り出したもので、下の絵では切り出さずにパッチ全体を見せている。
出典
- 数理
- D. Smith, J.S. Myers, C.S. Kaplan, C. Goodman-Strauss, "An aperiodic monotile" (2023, arXiv:2303.10798)
- 生成
- generators/hat.js（置換3回・帽子 1,156 枚・中央を正方形に切り出し）