ペンローズ・タイリング P3

なにか

太い菱形と細い菱形、たった2種類のタイルで平面を隙間なく埋められるのに、どこまで広げても同じ配置が二度と繰り返されない「非周期タイリング」。1974年に数学者ロジャー・ペンローズが発見した。全体は5回対称で、2種類のタイルの枚数比は無限に広げると黄金比（1.618…）に収束する。

身近なところでは1997年、キムバリー・クラーク社のトイレットペーパーのエンボス（型押し）にこのパターンが使われ、ペンローズ本人と特許管理会社が提訴した実話がある。周期しない模様は型押しの重なりで紙が凸凹に太らないため、実用としても優れていた——数学の模様が日用品と法廷で交差した珍しい事件。

どう作ったか

菱形を半分にした「ロビンソン三角形」を黄金比で分割する置換規則（deflation）を7回適用して生成。実装は自作の Node スクリプトで、枚数が理論の漸化式に一致すること・枚数比が黄金比に収束することを機械検査している。

★自分で動かす

下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/penrose-live.js を、記事の中で呼んでいる。置換の回数を 0 から 8 へ動かすと、10 枚の三角形の輪が 15,970 枚へ細かくなっていく。「前の段の輪郭を重ねる」を入れると、1 枚の三角形がどう割れて次の段になるかが見える。

置換の回数 n = 4 前の段の輪郭を重ねる

三角形の枚数（細／太）: —
漸化式 r′=r+b, b′=r+2b との一致: —
太／細の枚数比: —
黄金比 φ との差: —

スライダーで決めた置換回数のペンローズ・タイリング P3

枚数比は 1 → 1.5 → 1.6 → 1.615 → … と下から単調に φ = 1.6180 へ寄る（フィボナッチ数の比を、ひとつ飛ばしに並べた列）。枚数は毎回、実装で数えた値と漸化式の値を突き合わせている。⚠️ 置換 0 回の輪は太い三角形が 0 枚なので比は定義できない。上の出荷図は置換 7 回（三角形 6,100 枚）。

出典

数理: R. Penrose, "The role of aesthetics in pure and applied mathematical research" (1974)
生成: generators/penrose.js（置換7回・三角形 6,100 枚）