チューリング・パターン
反応拡散の式を解いて、縞と斑点の2枚を描いた。下のスライダーで2つの定数を動かすと、ページの中で模様が育っていく。
なにか
シマウマの縞、熱帯魚の模様、ヒョウの斑点、蝶の羽の紋様など、生き物の模様の多くは、設計図があって描かれるのではなく、2つの化学物質が「反応しながら拡がる」だけで一様な皮膚から自発的に生まれる。1952年、計算機科学の父アラン・チューリングが最晩年に出したこの予言は、長く仮説のままだった。決定打を出したのは日本の近藤滋で、1995年、タテジマキンチャクダイの縞が成長につれて生きた模様として動き、縞の分岐点がファスナーのように移動することを示して、模様が反応拡散系の解であることを実証した。
どう作ったか
反応拡散系の標準形である Gray-Scott モデルを、上下左右がつながった 200×125 の格子で 15,000 ステップ計算した。濃度の等高線をマーチングスクエア法で閉じた曲線に起こし、SVG に書き出している。上の2枚は乱数の種まで同じで、違うのは定数 F と k の2つだけである。どのステップでも濃度は 0 から 1 の範囲に収まり、等高線はすべて閉じている。
自分で動かす
下の絵は、あらかじめ描いた絵の切り替えではなく、ページを開いたその場で上の図と同じ計算をしている。定数 F と k を動かすと、同じ乱数の種から縞・斑点・模様のない一様な面が生まれる。スライダーの動きに追いつくよう、格子は 64×40・2,000 ステップに小さくした（上の図は 200×125・15,000 ステップ）。
- 判定
- —
- 等高線の閉ループ
- —
- 濃い面積の割合
- —
- 濃度の範囲（0〜1 に収まるか）
- —
スライダーで決めた F と k の Gray-Scott 反応拡散の模様
上の図の値は、縞が F=0.055, k=0.062、斑点が F=0.0367, k=0.0649 である。F を 0.02 以下に小さくすると反応が続かず一様に戻り、0.07 前後まで大きくすると全面が濃くなって模様が消える。模様が育つのは、その間の狭い範囲だけである。格子を小さくしたぶん模様は粗く、規則と種が同じでも上の図と同じ絵にはならない。
出典
- 数理
- A. Turing, "The Chemical Basis of Morphogenesis" (1952) ／ P. Gray & S. Scott (1984) ／ J. Pearson, "Complex Patterns in a Simple System" (1993)
- 実証
- S. Kondo & R. Asai, "A reaction-diffusion wave on the skin of the marine angelfish Pomacanthus" (1995, Nature)
- 生成
- generators/turing.js（Gray-Scott・決定的乱数・等高線抽出）