コーヒーカップの光

円形のカップに平行光が入り、内面で反射した光線が腎臓形の明るい曲線＝ネフロイドを描く — 遠い光（太陽・天井灯）＝平行光の場合。反射光線が重なって明るくなる縁がネフロイド。尖点はちょうど半径の半分の位置

カップの縁の点光源から出た光が内面で反射し、ハート形の明るい曲線＝カージオイドを描く — カップの縁に光源がある場合（右の点）。今度はハート形のカージオイド。尖点は中心から1/3の位置に来る

なにか

朝のコーヒーカップの中に、光でできた明るい曲線が浮かんでいることがある。あれはカップの内側の壁が曲面鏡になって、反射した光線が一枚に折り重なる場所——火線（コースティック）だ。よく「ハート形（カージオイド）」と言われるが、実は光の来かたで形が変わる。太陽のように遠い光なら腎臓形のネフロイド、カップの縁すれすれに電球があるならカージオイド。見分けかたは尖点の位置で、半径の半分ならネフロイド、中心から1/3ならカージオイド。指輪を紙の上に置いたときの光も同じ仕組み。

どう作ったか

反射の法則だけから出発した。円周上の点φで反射した光線の向きは、平行光なら角度2φ、縁の光源なら3φ/2+90°——反射光線の族がこう書けると、光線が折り重なる縁（包絡線）は閉じた式で求まる。図の明るい曲線はこの理論式で、その上に光線120本をそのまま重ねている。機械検査は9件: 反射則（法線成分の反転・接線成分の保存、誤差10⁻¹⁶）・数値包絡線（隣どうしの反射光線の交点400個）が閉形式に一致・尖点が1/2と1/3ちょうど、など。

→ 見取り図（「光と曲線」の棚はこの作品で開いた）

出典

数理: 円の火線（catacaustic）は古典: 平行光→ネフロイド、円周上の点光源→カージオイド。式は反射則から本実装で導出し、数値包絡線と突合して検証
生成: generators/caustic.js（光線120本＋理論包絡線）