Rauzy フラクタル

なにか

Rauzy は 1982 年の論文「Nombres algébriques et substitutions」で、置換 1→12、2→13、3→1 を扱った。1 から始めて置き換えをくり返すと、1、12、1213、1213121、と伸びていき、その行き着く先の無限の列を u とする。ζ を x³＋x²＋x−1＝0 の実数の根とすると、ζ は約 0.5436890 で、逆数は約 1.8392867 になる。この逆数は、前の 3 つを足して次を作るトリボナッチ数の、隣どうしの比が近づいていく値である。

論文の p.148 の定理は、平面の点を正方形の格子でたたみ、一定の向きにずらし続ける動きを扱う。ずらす量をうまく選ぶと、行き先を 3 つの領域で色分けしたときの色の並びが、u と一致する。そうなる 3 つの領域の分け方があり、逆も成り立つ、というのが定理の中身である。Rauzy は 3 つの領域を「残りが有界な集合」と呼んでいる。p.177 には、3 片に分かれた図形と、全体を一定の量だけずらして格子でたたみ直すと 3 片が並べ替わって同じ形に戻る図が載っている。本文の注は、全体が 1 点を中心に点対称だと書く。

この論文の本文には「fractale」という語は出てこない（文字で探した範囲）。Messaoudi は 1998 年の論文の要旨で、引用符をつけて「fractal de Rauzy」と呼び、序文で G. Rauzy が導入した、と書いた。開いた 4 本の論文の文献表では、Ito と Kimura の 1991 年の論文の題にすでにこの呼び名が入っている。誰が名づけたかを書いたものは、開いた範囲では見つからなかった。

Messaoudi 1998 は、この図形の性質として、コンパクトで連結であること、境界がフラクタルで内部は単連結であること、複素平面を周期的に敷きつめることを挙げる。Durand と Messaoudi の 2011 年の論文もほぼ同じことを並べ、周期的な敷きつめの出典を Rauzy 1982 に置いている。

3 片を描く

置換を 27 回くり返して、u の先頭 15,902,591 文字を作った。先頭から N 文字までに 1・2・3 がいくつずつあるかを数え、その 3 つの数を、置換の行列が縮める向きの平面へ写す。写した点を、次の文字が 1 なら藍、2 なら茜、3 なら黄土で塗った。

Rauzy の §4.1 によると、3 片の面積は全体の ζ 倍、ζ² 倍、ζ³ 倍になり、ζ＋ζ²＋ζ³＝1 なので 3 片は縁でしか重ならない。塗った画素で面積を測ると、全体を 1 として 0.5448、0.2964、0.1613 になった。目標の 0.5437、0.2956、0.1607 とは、境界の画素の分だけずれている。並び方は p.177 の図と同じで、いちばん小さい黄土の片が、藍の片と茜の片の両方に接する。点の重心を中心に 180° 回すと、塗った図はもとの図とぴったり重なった。

格子に沿って並べ、布にする

図形を並べるときのずらし方は、文字の個数の差で決まる格子 Λ になる。Λ の基本の平行四辺形の面積は 3.7725 で、図形 1 枚の面積と同じである。点を Λ の座標で表して画素に落とし、平行四辺形の枠の中へ折りこんでみた。空く画素はどの細かさでも 1 つもなく、1 枚だけが乗る画素は、枠の 1 辺を 1600 に分けたとき 99.84% だった。残りの 0.16% は 2 枚が乗る画素で、縁にあたる。

並べた写しのうち、1 枚の図形と縁で接するのは 6 枚だった。正六角形を並べたときと同じ数になる。接する画素の数は、細かさを 2 倍にすると 2 倍近くに増えるので、6 枚とも点で触れるのでなく、線で接している。基底の 2 つの向きにそれぞれ 3 つ先までの写しを調べ、ほかに接するものはなかった。3 片はそれぞれ 1 つのかたまりで、どの片にも閉じこめられた穴はなかった。

布のプリントでは、長方形の版を横に並べ、行ごとに横へずらして送る。いちばん短い格子ベクトルを横に寝かせると、長方形の横幅 1.8393 に対して高さは 2.0511、行ごとのずれは横幅の 0.7718 倍になる。短いほうから 6 本の格子ベクトルのどれを横にしても、ずれは 0.5 にならなかった。よく使う半分ずらし（ハーフドロップ）の送りでは刷れないので、ずれの量を指定できる送りが要る。

縁の次元は 1.0934

Thuswaldner 2006 と、Durand と Messaoudi の 2011 年の論文は、境界を最初に調べたのは Ito と Kimura の 1991 年の論文だと書く。Loridant・Messaoudi・Surer・Thuswaldner の論文も、この図形の仲間を最初に調べたのはその論文だとする。境界が Dekking の方法で作られるジョルダン曲線だと示したこと（Messaoudi 1998、Durand と Messaoudi 2011）、ハウスドルフ次元を計算したこと（Thuswaldner 2006、Durand と Messaoudi 2011、Loridant ほか）も、これらの論文の書き方による。Ito と Kimura の論文そのものは開けていない。

次元の値は、Thuswaldner 2006 の定理 6.7 の式から自分で計算した。式は 2＋(log λ − log μ)/log r で、λ はトリボナッチ数、r は残りの根の絶対値 0.7373527、μ は x⁴−2x−1 の最大の根 1.3953370 である。値は 1.0933641642823 になった。OEIS の A272408 に載っている式 2b³ˣ＋b⁴ˣ＝1 を解いても、小数 13 桁まで同じ値になる。この項目は式の出典を書いていないので、根拠には定理 6.7 を使った。自分で描いた図の外側の縁を、細かさを 2 倍ずつにして数えると、増え方の指数は 1.087、1.107、1.106 だった。

なめらかな線の次元は 1 で、面の次元は 2 である。Rauzy フラクタルの縁は 1 より少しだけ大きく、線でありながらわずかに面へ食いこんでいる。

見立て

布のリピートを測る前に、見立てを 5 つ決めた。

見立ての 1 つ目は、枠に折りこむと 1 枚だけ乗る画素が細かさ 1600 で 99% を超え、2 枚乗る画素は細かさを 2 倍にするたびにほぼ半分になる、だった。前半は 99.84% で当たった。後半は、2 枚乗る画素が点の数で動いた。点を 470 万から 2,925 万へ増やすと、細かさ 1600 で 0.05% から 0.19% へ増え、2 倍ごとの減り方も 0.17 倍から 0.49 倍まで変わる。点を増やすほど半分に近づくが、どこで止まるかは決められなかった。半分当たりとした。

見立ての 2 つ目から 4 つ目は、3 片はどれも上下左右のつながりで 1 つのかたまりになる、どの片にも閉じこめられた穴はない、1 枚に縁で接する写しは 6 枚、の 3 つだった。細かさを 400・800・1600 と変えても、かたまりは片ごとに 1 つ、穴は 0、接する写しは 6 枚のままで、3 つとも見立てどおりである。

見立ての 5 つ目は、長方形の版の行ごとのずれは横幅の半分にならない、だった。短い 6 本でいちばん 0.5 に近いのは 0.4484 で、見立てどおりである。

→ フィボナッチ・ワード（a → ab、b → a の置換で作る 2 文字の列）

どう作ったか

生成器は generators/rauzy.js である。置換の行列の複素数の固有値 α の左固有ベクトル (1, α−1, 1/α) で、文字の個数を複素平面へ写した。Λ は 1 と 2、1 と 3 の個数の差のベクトルで張り、短い基底に取り直した。点を Λ の基底の座標で表し、1/n 刻みの画素に落とすと、Λ のずらしは画素のちょうど n 個ぶんになる。たたむのも写しを並べるのも、画素の番号の足し算で済む。表紙の模様は、細かさ 600 で塗った 3 片の縁をたどった輪郭を、Λ のずらしで敷いたものである。

確かめていないこと。2 枚乗る画素は点の数で動くので、細かさを上げたときの減り方の行き先は決められていない。接する写しは基底の向きに 3 つ先までしか調べていない。Ito と Kimura 1991、Arnoux と Ito 2001 は開けておらず、境界の話は開いた論文がそう書いている、という形でだけ引いた。Rauzy 1982 の図そのものは載せず、図はすべて自分の計算で描いた。

出典

置換と 3 片

Rauzy「Nombres algébriques et substitutions」Bull. Soc. math. France 110（1982）147〜178（numdam・10.24033/bsmf.1957）。p.148 の置換と定理、§4.1 の 3 片の面積、p.177 の図と点対称の注。本文で読み、図はページを画像にして読んだ

呼び名と性質

Messaoudi「Propriétés arithmétiques et dynamiques du fractal de Rauzy」J. Théor. Nombres Bordeaux 10（1998）135〜162。要旨の呼び名、序文の性質と Ito・Kimura の結果、文献表

境界の次元

Thuswaldner「Unimodular Pisot substitutions and their associated tiles」J. Théor. Nombres Bordeaux 18（2006）487〜536（10.5802/jtnb.556）。定理 6.7 の式

境界の研究の経緯

Durand・Messaoudi「Boundary of the Rauzy fractal sets in R×C generated by P(x)＝x⁴−x³−x²−x−1」Osaka J. Math. 48（2011）471〜496。Loridant・Messaoudi・Surer・Thuswaldner「Tilings induced by a class of cubic Rauzy fractals」（著者の勤め先のサイトの PDF。誌名は確かめていない）

次元の別の式

OEIS A272408（Sykora・2016-04-29）

数理

固定点、平面への写し方、面積、たたみ方、接する写し、布のリピートのずれ、次元の計算は自分で組んだ

親戚

フィボナッチ・ワード

生成

generators/rauzy.js（rauzy.svg 表紙・rauzy-book.svg 帳簿）。数値は generators/data/rauzy/facts.json、輪郭は tile.json に書き出した