フィボナッチ・ワード — 2つの幅の縞だけで、決して繰り返さない

フィボナッチ・ワードを第3世代から第12世代まで10行の縞にした図。長い生成りの縞がa、短い藍の縞がb。下の行ほど縞が細かく、3,5,8,13,21,34,55,89,144,233本 — a → ab、b → a の置換を繰り返した語を、長い縞（幅 φ）と短い縞（幅 1）で描く。上から第3〜12世代。各行の縞の数はフィボナッチ数で、**どの行の境界も φ 倍すると次の行の境界に乗る**（自己相似）

なにか

このギャラリーのあちこちにフィボナッチ数列が顔を出す——ヒマワリの螺旋の本数、Glass パターンの相方が 21 番先、Hat の鏡映比 1/φ⁴。いちど数列そのものを主役として棚に置く。

フィボナッチ・ワードは、文字 a を ab に、b を a に置き換える操作を繰り返してできる語である。a → ab → aba → abaab → abaababa → …。長さは 1, 2, 3, 5, 8, 13, …とフィボナッチ数で増え、a の数と b の数もフィボナッチ数で、比は黄金比 φ に近づく。a を長さ φ の縞、b を長さ 1 の縞にすると、2種類の幅の縞だけでできていて、決して周期しないのに、どこを切り出しても同じ切れ端が別の場所に現れる。これが準周期で、ペンローズ・Hat・アンマン–ビーンカーという2次元の非周期タイリングの、1次元の祖先にあたる。

3つの作り方が同じ語を出す

世代ごとの縞と、その下に数の帳簿（長さ987・aが610・bが377・複雑さp(n)=n+1・φ倍の自己相似のずれ1.2e-10）を書いた図 — 世代ごとの縞（第1〜10世代）と第12世代の帯、そして数の帳簿

①置換（上）。②切断投影——傾き 1/φ の直線を整数格子に引き、格子線を横切る順（縦か横か）を読む。式にすると f_k = ⌊(k+2)/φ²⌋ − ⌊(k+1)/φ²⌋ で、0 が a、1 が b。これはアンマン–ビーンカーを作ったのと同じ「高い次元の格子を斜めに切って射影する」作り方の1次元版である。③自己相似——縞の境界を φ 倍すると、φ·φ = φ + 1 は ab の長さ、φ·1 = φ は a の長さなので、元の境界にぴったり乗る。

★①と②は 987 文字で完全一致し、③は第16世代の 1,598 点で最大ずれ 1.2×10⁻¹⁰。⚠️ ②の添字の取り方（k+2 と k+1）は候補を4つ書いて実測で選んだ——他の3つは 0〜3 文字目で外れる。

非周期の中で、いちばん単純

「決して繰り返さない」を測る物差しが複雑さである。長さ n の相異なる切れ端が何種類あるか——周期語なら有界（abab… は n によらず 2 種類）、ランダム語なら 2ⁿ 種類。フィボナッチ・ワードは p(n) = n + 1 ちょうど（n = 1〜14 で検査）。非周期であるためには p(n) ≥ n + 1 が要ることが知られていて、その最小値をぴったり達成している語（Sturmian 語）である。ほかに、bb は現れない・a は最大2連続・最後の2文字を落とすと回文——といった性質も機械で確かめた。

縞に光を当てる

第13世代610本のタイルの境界の1次元構造因子S(q)を0からq=12まで描いた図。鋭い点が並び、各点に(m,n)の整数ラベルがつく — 第13世代（610 本）の境界 611 点の構造因子。明るい点はすべて q = m·q₁ + n·q₂ の整数結合に乗り、q₂/q₁ = φ。基本の点のひとつは 2π/(φ+2)

Hat の回折像と同じ道具を1次元に向ける。回折像は点ばかり（純点スペクトル）だが、周期格子なら1つの波数の整数倍で済むところ、ここでは2つの波数 q₁, q₂ の整数結合が要る。しかも q₂/q₁ = φ は無理数なので、m·q₁ + n·q₂ は数直線上に稠密に散らばる——それでも明るいのは小さい整数の組だけ。明るい 16 点すべてが |m|,|n| ≤ 12 の結合に 0.01 以内で乗り、比は φ に 6×10⁻⁶ で一致した。

⚠️ 道具で2つ踏んだ。①有限の語なので強い点の両脇 ±2π/L に副極大が出る。最初これを点として拾い、6 点が「整数結合に乗らない」と出た。副極大は語を長くすると動くが本物の点は動かない（610 → 1,597 本で 10⁻⁴）ので、点の最小間隔で切った。②基本波数を「低い波数で比が φ に近い2本」で選ぶと、第15世代で副極大を拾って全点が外れた。「残りの点が何個乗るか」を基準にして直した。

どう作ったか

generators/fibword.js。置換・切断投影・タイル境界・複雑さ・周期探索・1次元の構造因子とピーク探索（粗い走査 6000 刻み → 山登り）を自前で持つ。検査は 16 件。長さと文字数がフィボナッチ数、置換と切断投影の 987 文字一致、φ 倍の自己相似、周期なし、p(n) = n+1（対照＝周期語 2・疑似ランダム語 ≈ 2⁸）、bb なし、回文、回折の全点が整数結合、比が φ、2π/(φ+2) の点、語を長くしても点が動かないこと、出荷SVG を機械検査している。

出典

数理: M. Morse, G. A. Hedlund, "Symbolic dynamics II: Sturmian trajectories" (1940)／M. Lothaire, "Algebraic Combinatorics on Words" (2002) 第2章／M. Senechal, "Quasicrystals and Geometry" (1995) 1次元の切断投影と回折。⚠️ 無限語についての定理は文献の伝聞で、ここで確かめたのは有限の語（987〜1597 文字）についての検査だけ
親戚: フィロタキシス（黄金角の連分数）・アンマン–ビーンカー（切断投影）・Hat の回折像（構造因子）・ユークリッドリズム（同じ Sturmian 語がリズムにもなる）
生成: generators/fibword.js（fibword.svg 縞と世代・fibword-diffraction.svg 回折）