ルーローの三角形 — 円じゃないのに幅が同じ

なにか

「マンホールの蓋はなぜ丸いか」——正解は「どの向きでも幅が同じだから、蓋が穴に落ちない」。ところが幅が同じなのは円だけではない。正三角形の各頂点にコンパスの針を置き、向かいの辺へ弧を描くとできるこの膨らんだ三角形は、どの方向から測っても幅がぴったり一定になる。定規2本で挟んで転がすと、円と同じように滑らかに転がる（ただし中心は上下する——だから車輪には使えない）。ロータリーエンジンのローターの形はこれ。ドリルにすればほぼ四角い穴が開けられる。

おまけの定理がまた渋い。同じ幅を持つ図形の中で、ルーローの三角形は面積が最小（Blaschke–Lebesgue、1914）。円は同じ幅で最大側、ルーローは最小側——「幅が同じ」仲間の両端に立っている。

どう作ったか

境界を円弧3本のサポート関数で表し、全720方向について h(θ)+h(θ+π)＝幅 を機械検査（誤差3×10⁻⁷）。面積が (π−√3)/2 の閉じた式に一致することと、同じ幅の円より小さいことも数値で確認している。

→ 見取り図（「定幅図形」の棚はこの作品で開いた）

出典

数理

F. Reuleaux による機構学での分類 (19世紀)。面積最小性は W. Blaschke / H. Lebesgue (1914–15)

生成

generators/reuleaux.js（弧3本＋サポート関数検査）