ルーローの三角形

なにか

「マンホールの蓋はなぜ丸いか」と聞かれたら、答えは「どの向きでも幅が同じだから、蓋が穴に落ちない」である。ところが幅が同じなのは円だけではない。正三角形の各頂点にコンパスの針を置き、向かいの辺へ弧を描くとできるこの膨らんだ三角形は、どの方向から測っても幅がぴったり一定になる。定規2本で挟んで転がすと、円と同じように滑らかに転がる（ただし中心は上下する。だから車輪には使えない）。ロータリーエンジンのローターは、この形をしている。ドリルにすればほぼ四角い穴が開けられる。

おまけの定理がまた渋い。同じ幅を持つ図形の中で、ルーローの三角形は面積が最小になる（Blaschke と Lebesgue、1914）。同じ幅で面積が最大なのは円なので、円とルーローの三角形は「幅が同じ」仲間の両端に立っている。

どう作ったか

境界を3本の円弧のサポート関数で表し、720 の向きすべてで h(θ)+h(θ+π) が幅に等しいことを確かめた（ずれは最大 3×10⁻⁷）。面積は閉じた式 (π−√3)/2 に一致し、同じ幅の円より小さい。

→ 見取り図（「定幅図形」の棚はこの作品で開いた）

出典

数理

F. Reuleaux による機構学での分類 (19世紀)。面積最小性は W. Blaschke / H. Lebesgue (1914–15)

生成

generators/reuleaux.js（弧3本＋サポート関数検査）