かけ算第22号｜結晶のかたち × 雪の結晶 — ゆっくり育てれば、成長形は平衡形に届くか

同じ六角格子・同じ規則で水蒸気の量βだけを変えた3つの結晶（β=0.15の板、0.3の扇、0.6の樹枝）に、同じ面積の正六角形（Wulffの平衡形）を赤い点線で重ねた図。一致率93.6%・72.7%・32.4% — 同じ六角格子・同じ規則で、水蒸気の量 β だけを変えた3つ。赤の点線は**同じ面積の正六角形＝Wulff の平衡形**。一致率（Jaccard）は β = 0.15 → 0.3 → 0.6 で **93.6% → 72.7% → 32.4%**

この作品の問い

結晶のかたちは平衡形の話だった——表面エネルギー γ(θ) が向きで違うと、最小の形は円でなく多角形になる（Wulff 構築）。六角の異方性なら、γ′ が跳ぶ cusp 型の γ から正六角形が出る。

雪の結晶は成長形の話だった——六角格子の上で「水蒸気が拡散して縁に付く」規則だけで樹枝も板も出る。つまみ β（もとの水蒸気の量＝どれだけ速く育つか）で形が変わる。

平衡形は「無限にゆっくり」の極限で、成長形は速さの関数。教科書はそう言う。では同じ格子の上で β を下げていくと、Reiter の成長形は Wulff の平衡形にどこまで近づくか。近づくなら、六角形の向き——角が格子の隣の向きに立つのか、面がそうなのか——はどちらか。

測り方

育った結晶（凍ったセルの集合 A）と、同じ面積の正六角形を格子に落としたセル集合 H との Jaccard 一致率 |A∩H| / |A∪H| を測る。向きは角が 0°（格子の隣の向き）か 30°かの2通りを両方測って大きいほうをとる。もうひとつ、0° の半径と 30° の半径の比——正六角形なら 2/√3 = 1.155。

★道具の答え合わせを2つ。①格子に落とした正六角形（外接半径 m）のセル数は中心六角数 3m²+3m+1 に m = 1〜8 で一致する。②Wulff 構築に cusp 型 γ = 1 − ε + ε|cos 3θ| を入れると、出てくる多角形は面が 6 つで、support 関数が 72 方向で 10⁻¹⁵ まで正六角形と一致し、角は 0° に立つ（独立2経路）。
⚠️ 最初、結晶のかたちの cos 型 γ = 1 + ε cos 6θ（ε = 0.06 > 1/35）を「六角形」として使っていた。それは角が立っても面は丸い（半径の比 1.098・辺 546 本）。正六角形には γ′ の跳びが要る——発見31 の cusp 型はここで効いた。

★答え——β について単調に近づく。角の向きも同じ

β（水蒸気の量）	一致率	半径の比 0°/30°	境界の辺 ÷ セル数	形
0.15（ゆっくり）	93.6%	1.346	0.14	面が凹んだ六角の板
0.3	72.7%	2.376	0.27	扇（セクタープレート）
0.6（速い）	32.4%	∞	2.36	樹枝

β を 0.15 から 0.6 まで 7 通りに振ると、一致率は 94% → 37% と 7 点すべて単調に落ちる。そして3つとも角は格子の隣の向き（0°）にある——Wulff の平衡形の角と同じ向きに立つ。成長形の先端が伸びる向きと、平衡形の角が立つ向きは、この格子では一致している。

樹枝の一致率が低いのは「面積の割に周囲が長い」からで、境界の辺÷セル数は板の 0.14 に対して樹枝は 2.36（17 倍）。成長形は先端だけが伸び、平衡形は面で埋まる。

★解像度を振っても答えが動かない。格子の半径を R = 20 → 28 → 36 に振っても、一致率の動きは β = 0.15 で 3.2 点・β = 0.3 で 3.5 点。刻みで動いていないので、測っているのは形であって格子ではない。

⚠️ ただし届いてはいない。β = 0.15 でも半径の比は 1.35 で、正六角形の 1.155 には距離がある（面が凹んでいる）。β → 0 は計算が急に遅くなるので、ここまでしか測っていない。「ゆっくりほど近づく」は言えるが「極限で一致する」は言えない。

速さの曲線

左: βを0.15から0.6まで7通りに振った一致率の曲線（単調減少）と半径の比。右: 格子の半径Rを20・28・36に振っても一致率が動かない図 — 左: β を振った一致率（藍）と半径の比（赤点線）。右: 格子の半径 R を振っても一致率は 3 点ほどしか動かない

どう作ったか

generators/wulffsnow.js。結晶は snowflake.js の grow（Reiter の規則・α = 1・γ = 0.0008・縁に届いたら止める）、平衡形は gallery/assets/wulff-live.js の Wulff 構築（cusp 型 γ を 30° 回して角を格子の隣の向きに合わせる）。Jaccard の H は結晶と同じセル数になる外接半径で正六角形を格子に落とす。図の結晶は「行ごとに連続する凍ったセルを1つの帯」にして描く（1セル1図形だと太る）。

検査は 12 件。中心六角数との一致、Wulff 形が正六角形で角が 0° にあること、cos 型では面が丸いこと（最初の誤り）、一致率と半径の比が β について単調なこと、3つとも角が 0° にあること、6回対称が 10⁻⁹ で立つこと、境界÷セル数の順序、解像度を振っても一致率が動かないこと、出荷SVG を機械検査している。

出典

数理: G. Wulff (1901) 平衡形の作図／C. A. Reiter, "A local cellular model for snow crystal growth" (2005)。⚠️「ゆっくり育てると平衡形に近づく」は結晶成長の教科書的な話だが、この模型でそれが出るかは、ここで測ったものだけ
親: 結晶のかたち（発見31・cusp 型の γ で正六角形）× 雪の結晶（Reiter の六角セルオートマトン）
生成: generators/wulffsnow.js（wulffsnow.svg 3つの結晶と平衡形・wulffsnow-sweep.svg 速さの曲線）