結晶のかたち — 境界を作るエネルギーが向きで違うと、円は選ばれない
塩は立方体、雪は六角
食塩の結晶は立方体、雪は六角、ダイヤモンドは八面体。なぜ丸くならないのか。
周転円で描く角で、同じ周長なら円がいちばん広いこと（等周不等式）をフーリエ係数の項ごとの不等号として見た。泡が丸くなろうとするのもこれである。ただしあの話には隠れた前提があった。どの向きの境界も、同じエネルギーで作れる——という前提である。
まず「表面エネルギー」を決めておく
結晶の内部では、原子はまわりの原子と結合している。ところが表面では結合が切れる。切れた結合の数がそのままエネルギーとして残るので、境界を作るには必ずエネルギーが要る。この「境界を単位長さ作るのに要するエネルギー」を表面エネルギー γ という（3次元なら単位面積あたり）。
肝心なのは次のことである。原子の並びに対してどの向きに切るかで、切れる結合の本数が変わる。並びに沿って切れば切れる結合は少なく、斜めに切れば多い。だから γ は向き θ の関数になる——γ(θ)。
この記事では、この γ を「境界の値段」と呼ぶことにする。安い向き（γ が小さい向き）に面を作るほうが得で、高い向きの面はできれば作りたくない。すると「面積一定で境界の総費用 ∮γ(θ)ds を最小にする形」は円ではなくなる。その形を作図で出すのが Wulff 構築（1901）である——原点から各向きに距離 γ(θ) の直線を引き、その内側の共通部分を取る。
⚠️ この作品でやるのはγ(θ) を仮定して形を出すところまでである。実際の食塩や雪でどの向きの γ が本当に安いのか（岩塩なら {100} 面、など）はこちらでは確かめていない。以下の γ はすべて γ(θ) = 1 + ε cos(nθ) という手で置いた形で、実測の結晶のデータではない。
★角が立つしきい値は 1/(n²−1)
異方性を弱くしていくと、どこかで形は丸に戻るはずである。その境目を探した。
ε* = 1 / (n² − 1)
γ が凸性を失う条件（γ + γ'' < 0）を解くと出る式で、γ = 1 + ε cos(nθ) なら γ + γ'' = 1 + ε(1−n²)cos(nθ)。これが負になるのは ε > 1/(n²−1) のときである。数値の二分探索と突き合わせた:
| n | 式 1/(n²−1) | 数値（二分探索） | 相対差 |
|---|---|---|---|
| 3 | 1/8 = 0.12500 | 0.12501 | 7.9×10⁻⁵ |
| 4 | 1/15 = 0.066667 | 0.066674 | 1.0×10⁻⁴ |
| 6 | 1/35 = 0.028571 | 0.028576 | 1.6×10⁻⁴ |
| 8 | 1/63 = 0.015873 | 0.015876 | 2.1×10⁻⁴ |
そしてしきい値の手前では角がゼロ、越えるとちょうど n 個の角が一斉に立つ（n = 3・4・6 で確認）。中間の状態がない——相転移のように切り替わる。
★しきい値を単位に取ると、n が違っても同じ曲線になった。ε/ε* ≤ 2 の範囲で n = 3・4・6・8 の4本が 1.9 ポイント以内に重なる。「角が立ちはじめる振る舞い」は n によらず、しきい値の位置だけが 1/(n²−1) で動いている。⚠️ ただし ε/ε* = 8 まで行くと 10.6 ポイントまで開くので、「完全に重なる」とは書けない。
n が大きいほどしきい値が n² で下がる、というのが効いている。細かい異方性のほうが、弱くても角を立てやすい——6回対称なら γ の揺れが 2.9% で角が立つが、3回対称だと 12.5% 必要である。角の数が多い形のほうが「安上がりに」作れる。
★向きが、形より効く
本当に Wulff 形状が最小なのか、同じ面積の他の形と比べた（γ = 1 + 0.15 cos 6θ ＝しきい値の 5.25 倍）。
| 形 | ∮γds | Wulff の何倍 |
|---|---|---|
| Wulff 形状 | 5.5666 | 1（最小） |
| 正六角形（向きが合う） | 5.6081 | 1.0075 |
| 円 | 6.2832 | 1.1287 |
| 正12角形 | 6.3566 | 1.1419 |
| 正方形 | 7.0898 | 1.2736 |
| 正六角形を30° 回す | 7.5875 | 1.3630 |
| 正三角形 | 9.2927 | 1.6694 |
Wulff 形状は「丸みを帯びた六角形」で、完全な正六角形よりわずか 0.75% だけ良い。ここは予想どおりだった。予想外だったのは回した六角形である。
正六角形は、向きが合っていれば円より良い（1.0075 倍 vs 1.1287 倍）。ところが 30° 回すと 1.3630 倍——円よりずっと悪くなる。形は同じ正六角形なのに、円を挟んで反対側に行ってしまう。異方性があるところでは、どんな形を選ぶかより、どの向きに置くかが効く。
そしてγ を等方に戻すと、∮γds は周長そのものになり、最小は円になった（6.283187 ≈ 2π = 6.283185）。等周不等式に戻る。これが片親に戻す対照（発見8）——この作品は等周不等式の異方性版で、異方性を消すと親に帰る。
★とがった γ を入れると、本当に平らな面が出る——しきい値も要らない
上の節で「しきい値 ε* = 1/(n²−1) を越えると角が立つ」と書いた。だが角が立った形をよく見ると、辺は平らではない。コーナーの間は弧のままである。cos 型の γ はどこまでもなめらかなので、厳密な平面が出る理由がない。
実際の結晶は平らな面を持つ。文献では、その理由は γ が低指数の向きで「とがった極小」を持つことだとされる（⚠️伝聞。こちらで実在の結晶の γ を測ったわけではない）。ならとがらせてみればいい。
①面が出た。しかも長さが式どおり。cusp の左右の傾きは ∓εn/2 なので γ' の跳びは εn。古典的な結果（⚠️伝聞）はこの跳びがそのまま平らな面の長さになると言う。測ると ε=0.02 で 0.1211（式 0.1200）・ε=0.05 で 0.3010（式 0.3000）・ε=0.1 で 0.6010（式 0.6000）——比は 1.002〜1.009。
②しきい値が要らない。ε* の3分の1（ε=0.0095）でも、なめらかな γ は角ゼロなのに、とがった γ は長さ 0.0582 の面を出す（式 0.0571）。ε がどれだけ小さくても、とがりがあれば面が出る。
③★だから「しきい値 1/(n²−1)」は「なめらかな γ」に限った話だった。しきい値が存在するかどうかは、γ のとがり方が決めている。
★「本物の面か、それとも刻みのせいか」は刻みを振れば分かる。Wulff 構成は半平面 M 枚で切るので、なめらかな形でも「辺」は出てしまう。刻みを 720 → 11520 に 16 倍すると、とがった γ の最長辺は 0.1285 → 0.1205 と残り（式 εn = 0.12 へ収束）、なめらかな γ の最長辺は 0.0148 → 0.0009 とちょうど 16 分の1になった（2π/M に比例）。残るなら面、縮むなら離散化。
この作品では窓と分解能やHat の回折像と同じ道具を使っている——刻みを振って動くかどうかを見る。あちらでは「答えが動いてしまう」ことが問題だったが、こちらでは動くかどうかが答えそのものになった。
雪の平衡形と成長形
雪の結晶では、同じ六角格子から樹枝・羊歯・扇・板まで作った。あれは成長の速さで決まる形（成長形）である。この作品で出るのはエネルギーが最小の形（平衡形）で、六角の板になる。
同じ「六角対称」から、ゆっくり作れば六角板、速く作れば樹枝という二つの答えが出る。発見22で「対称性を決めているのは格子ではなく成長の規則だった」と書いたが、その裏にはもう一つ「エネルギーで決まる形」があって、こちらは規則ではなく境界の値段（表面エネルギー）が決めている。⚠️ ここで比べているのは当ギャラリーの2つの模型どうしで、実際の雪の結晶が平衡形からどれだけ離れているかは確かめていない。
★自分で動かす
下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/wulff-live.js を、記事の中で呼んでいる。ε をゆっくり上げていくと、しきい値 ε* = 1/(n²−1) をまたいだ瞬間に角が 0 個から n 個に変わる。
- しきい値 ε*
- —
- 角の数
- —
- いちばん長い辺
- —
- 丸さ
- —
- 現れない向き
- —
スライダーで決めた表面エネルギーから作った結晶のかたち
刻みのボタンを押し比べてほしい——これが発見38の決め手そのもの。とがった γ の面は刻みを増やしても長さが残る（本物の平面）。なめらかな γ の「面」に見えるものは刻みに比例して縮む（ただの離散化）。ε をどれだけ小さくしても、とがった γ には面が出る＝しきい値が「ある」かどうかは、なめらかさが決めている。
どう作ったか
Wulff 構築は「半平面 n(θ)·x ≤ γ(θ) の共通部分」なので、大きな正方形から順に半平面で切っていく（Sutherland–Hodgman）。有限個の向きで切るので、その間の向きでは支持関数が γ をわずかに超える——超過は刻み 2880 で最大 3.7×10⁻⁶ で、刻みを倍にすると 4.0 分の1に減った（刻みの2乗）。∮γds は刻みを 720 → 2880 に増やしても相対 2.1×10⁻⁵ しか動かない＝解像度に依存していない。
機械検査は25件: ①★等方で円に戻る（半径のばらつき 4.4×10⁻¹⁶・等周比 1.0000003）・すべての向きが現れる ②★しきい値 ε* = 1/(n²−1) が式と二分探索で相対 2×10⁻⁴ 以内に一致（n = 3,4,6,8）・★しきい値の前後で角が 0 → n に切り替わる ③★ε/ε* で規格化すると 1.9 点以内に重なる・⚠️遠方では 10.6 点開く ④★Wulff が7通りで最小・★向きが形より効く・対照として等方では円が最小 ⑤支持関数の超過が刻みの2乗で消える・多角形の向き・解像度に不感 ⑥記事のドラッグ版を偽DOMの上で実際に走らせる12項目——★ここで ε* をまたぐ瞬間に角が 0 → n に変わるのを自分の手で確かめられる。さらに刻みを選べるようにしたので、発見38の決め手（とがった γ の面は刻みを9倍にしても 0.84 倍で残り、なめらかな γ の「面」は 0.11 倍＝およそ 1/9 に縮む）をその場で再現できる。★「面の長さ = n·ε」が合わないときの理由が2種類に割れることも新たに固定した: ε が小さすぎるとき（面が刻みより短い）は比が 5.36 → 2.45 → 1.49 と刻みを細かくするほど 1 へ寄る＝測り方の問題／ε が大きすぎるとき（ε=0.3）は比が 0.449 でどの刻みでも動かない＝刻みの問題ではなく n·ε という見積もりが効く範囲の外。⑦出荷SVGとドラッグ版が同じ1本のコードを共有していること ⑧出荷SVG2枚。ドラッグ版の検査の実体は tools/wulff-live-test.js。
出典
- 数理
- G. Wulff (1901) の作図。「γ + γ'' < 0 の向きは現れない」（凸性が破れる＝不安定な向き）は結晶成長の標準的な結果で、Herring の名で呼ばれることが多い。等周不等式は Hurwitz (1901)
- こちらの主張
- 「しきい値が γ = 1 + ε cos(nθ) のとき ε* = 1/(n²−1) になる」「ε/ε* で規格化するとしきい値の近くで n によらない」「正六角形を 30° 回すと円より悪くなる」はこの作品で式と数値の2経路で確かめたもので、文献での扱いは確かめていない
- 生成
- generators/wulff.js（半平面の共通部分による Wulff 構築・支持関数・現れない向きの判定・角の検出・しきい値の二分探索・∮γds の比較・図2枚。依存ゼロ・乱数ゼロ）Wulff の数理は gallery/assets/wulff-live.js に置き、出荷SVGの生成器と記事のドラッグ版が同じ1本を共有している