組紐と最大公約数 — gcd が色の数として見える

なにか

ミサンガ・組紐・かごの網代編み・ケルト装飾の下地——長方形の中を斜め45°に走り、壁で跳ね返りながら埋め尽くす糸の織りは、世界中の手仕事に現れる。ここに数論がひとつ隠れている: 糸の本数はちょうど gcd(p, q)＝縦横の最大公約数。12×8なら4本、9×6なら3本、そして13×8のように縦横が互いに素なら、たった1本の糸が全体を織り上げる。ユークリッドの互除法の答えが「色の数」として目に見える。数理の正体は (p,q) トーラス絡み目の成分数の古典定理で、この織りはその平面表示になっている。

もうひとつの掟が「全域交互」。どの糸も、交差のたびに上・下・上・下と必ず交互にくぐれる——結び目理論でいう交代絡み目。当ギャラリーでは交点ごとの上下制約をグラフの2彩色問題に直し、矛盾がひとつも出ないことを機械で確かめた。

もう1枚

どう作ったか

糸はセルの辺の中点を通る（角では2回の反射が半歩ずれて起きるので、格子点を通るモデルと違って角で退行しない——ここが実装の落とし穴だった）。機械検査は7件: 糸の本数=gcdが8ケース全て一致・上下の2彩色に矛盾ゼロ（交代絡み目）・3本交差なし・全交点で上下が逆・互いに素なら1本・SVG実物2枚。

→ フィロタキシス（互いに素・無理数が秩序を決める同族）

→ 見取り図（「結び目・組紐」の棚が開いた）

出典

数理

(p,q) トーラス絡み目の成分数 = gcd(p,q)（結び目理論の古典）。平織り・網代編みの民俗数学。ケルト装飾のプレイトワークは P. Cromwell, "Celtic knotwork" (1993) に数学的整理がある

生成

generators/braid.js（辺中点ビリヤード・上下は2彩色で決定・輪ごとに配色）