カテナリー — 電線のたるみは放物線ではない
なにか
鎖や電線が自重で垂れるときの形。ガリレオは「放物線だ」と考えたが、正解は双曲線関数 y = a·cosh(x/a)——1691年、ライプニッツ・ホイヘンス・ヨハン=ベルヌーイが同時に解いた（上の図で破線とのずれが小さいのを見れば、ガリレオを責める気にはなれない）。ひっくり返すと純粋な圧縮だけで立つ最強のアーチになり、ガウディはサグラダ・ファミリアの設計で紐と重りの「逆さ吊り模型」から柱の形を読み取った。セントルイスのゲートウェイ・アーチもこの形。
核心は「荷重の配り方が曲線を選ぶ」こと。水平張力は曲線のどこでも一定なので、傾きは「そこまでに吊った重さ」に比例する。鎖の自重は弧長あたり一様 → 傾き∝弧長 → cosh。ところが吊り橋の主ケーブルが担ぐ橋桁はスパン（x）あたり一様 → 傾き∝x → 放物線。つまりガリレオの答えは「間違い」ではなく「別の問題の正解」——電線はカテナリー、明石海峡大橋のケーブルはほぼ放物線と、隣り合う2つの日常が違う曲線を使い分けている。
★自分で動かす
下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/catenary-live.js を、記事の中で呼んでいる。荷重の配り方だけを鎖（弧長一様）から橋桁（スパン一様）へ連続に動かすと、同じソルバの答えが cosh から放物線へ乗り換わる。
λ=0 は弧長あたり一様（鎖・電線の自重）、λ=1 はスパンあたり一様（吊り橋の橋桁）。あいだは両方を混ぜた重さ。
- cosh とのずれ
- —
- 放物線とのずれ
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- どちらに乗っているか
- —
- 傾きは何に比例するか
- —
スライダーで決めた荷重の配り方で釣り合った鎖の形と、cosh・放物線とのずれの図
λ をゆっくり動かすと、あいだでは両方のずれが同じくらい大きくなる——混ぜた荷重の答えは「cosh と放物線の中間の曲線」ではなく、どちらにも乗らない別の曲線。端では 10⁻⁶〜10⁻⁷ まで乗るのに、λ≈0.35 ではどちらも 2×10⁻² で、4桁も悪い。「荷重の配り方が曲線を選ぶ」は、選ばれない配り方があるという意味でもある。
どう作ったか
釣り合いはシューティング法で厳密に構成（リンクの向き∝(水平張力, 吊った重さの累積)・端点への命中をニュートン法で 10⁻¹⁰）。機械検査は9件: 鎖（弧長一様の重さ）の形は cosh に乗り放物線は8600倍ずれる・対照実験＝重さの配り方をスパン一様に替えるだけで放物線に乗り cosh が9万倍ずれる（役割の完全な入れ替わり）・傾き∝弧長（鎖）と傾き∝x（橋）の相関 1−10⁻⁹・弧長の恒等式 2a·sinh(x/a)・荷重を連続に混ぜるつまみの両端が既存の2つと一致（λ=0 は鎖と差ちょうど0）＝つまみを足しても答えが変わらない・★あいだはどちらにも乗らない（λ=0.356 で cosh も放物線も 2×10⁻²＝端の5200倍・37000倍悪い）・記事のドラッグ版を偽DOMの上で実際に走らせる9項目・出荷SVGとドラッグ版が同じ1本のコードを共有していること・SVG実物。ドラッグ版の検査の実体は tools/catenary-live-test.js。
出典
- 数理
- Leibniz・Huygens・Johann Bernoulli, Acta Eruditorum (1691)。吊り橋ケーブル＝放物線は荷重分布の標準的帰結。ガウディの逆さ吊り模型はコロニア・グエル教会堂 (1898–)
- 生成
- generators/catenary.js（離散鎖160リンクのシューティング釣り合い・cosh/放物線の最小二乗くらべ）釣り合いの数理（シューティング法・荷重の配り方・cosh と放物線のあてはめ）は gallery/assets/catenary-live.js に置き、出荷SVGの生成器と記事のドラッグ版が同じ1本を共有している