サイクロイド — 自転車のバルブが描く最速の坂

なにか

転がる円の縁の1点が描くアーチ。ガリレオが名づけ、17世紀の数学者たちが取り合いをした「幾何学者のヘレネ（争いの元になる美女）」。幾何はきれいに閉じる: 1アーチの長さはちょうど 8r（円周 2πr より短い整数倍！）、面積はちょうど 3πr²（転がった円3枚ぶん）。

ただの軌跡で終わらないのがこの曲線の凄み。①最速降下線（ベルヌーイの挑戦状, 1696）: 坂を重力だけで滑り降りるとき、2点を最速で結ぶ坂は直線でも円弧でもなく、上下逆さのサイクロイド——回り道なのに一番速い（スケートパークのランプがこの形に近いのは偶然ではない）。②等時曲線（ホイヘンス, 1673): サイクロイドの谷は、どの高さから玉を放しても底に着く時刻がぴったり同じ T=π√(r/g)。振り幅で周期が変わる普通の振り子の弱点を、ホイヘンスはサイクロイドの頬で振り子の紐を抱かせて解決した——振り子時計の心臓は、この曲線でできている。

すべり台くらべ

★自分で動かす

下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/cycloid-live.js を、記事の中で呼んでいる。「放す高さ」を動かしても、底に着く時刻が変わらない——等時性はこうやって動かすと一目で分かる。

どう作ったか

降下時間 T=∫ds/√(2g(y−y₀)) は出発点で被積分関数が発散するので、パラメータを t=t₀+u² に置換して滑らかにしてから積分するのが計算の要。機械検査は8件: 弧長8r・面積3πr²（閉形式 vs 数値積分）・最速降下（3本の坂の時間の順序と理論値π）・等時性（5つの高さから放して全員 π±10⁻³ で同着）・途中までの弧長も2経路（数値積分 と 4r(1−cos(t/2))）で41通り一致・記事のドラッグ版を偽DOMの上で実際に走らせる8項目（★放す位置を31通り動かしても降下時間が動かない／対照のまっすぐな坂は330倍動く）・出荷SVGとドラッグ版が同じ1本のコードを共有していること・SVG実物2枚。ドラッグ版の検査の実体は tools/cycloid-live-test.js。

→ コーヒーカップの光（ネフロイド＝円の外を転がる円の同族・エピサイクロイド）

→ カテナリー（同じ17世紀に解かれた、もうひとつの力学曲線）

出典

数理

等時性は C. Huygens, Horologium Oscillatorium (1673)。最速降下線は Johann Bernoulli の公開問題 (1696) にニュートン・ライプニッツらが解答。弧長 8r は C. Wren (1658)

生成

generators/cycloid.js（転がし図・すべり台くらべ・降下時間は u² 置換＋シンプソン則）サイクロイドの数理（軌跡・弧長と面積・降下時間・比較曲線）は gallery/assets/cycloid-live.js に置き、出荷SVGの生成器と記事のドラッグ版が同じ1本を共有している