サイクロイド

なにか

転がる円の縁の1点が描くアーチである。ガリレオが名づけ、17世紀の数学者たちが取り合いをしたので「幾何学者のヘレネ（争いの元になる美女）」と呼ばれた。幾何はきれいに閉じる。1アーチの長さはちょうど 8r で、円周 2πr ≈ 6.28r より長い。面積はちょうど 3πr² で、転がった円3枚ぶんにあたる。

この曲線は、ただの軌跡では終わらない。①最速降下線（ベルヌーイの挑戦状、1696）。坂を重力だけで滑り降りるとき、2点を最速で結ぶ坂は直線でも円弧でもなく、上下逆さのサイクロイドになる。回り道なのにいちばん速い（スケートパークのランプがこの形に近いのは偶然ではない）。②等時曲線（ホイヘンス、1673）。サイクロイドの谷では、どの高さから玉を放しても底に着く時刻がぴったり同じ T=π√(r/g) になる。振り幅で周期が変わる普通の振り子の弱点を、ホイヘンスはサイクロイドの頬で振り子の紐を抱かせて解決した。振り子時計の心臓は、この曲線でできている。

すべり台くらべ

自分で動かす

下の絵は、あらかじめ描いた絵の切り替えではなく、ページを開いたその場で上の図と同じ計算をしている。「放す高さ」を動かしても、底に着く時刻が変わらない。等時性は、こうして動かすとひと目で分かる。

どう作ったか

降下時間 T=∫ds/√(2g(y−y₀)) は、出発点で被積分関数が発散する。そこでパラメータを t=t₀+u² と置き換え、滑らかにしてから積分した。弧長 8r と面積 3πr² は、閉じた式と数値積分が一致する。3本の坂の降下時間はサイクロイドがいちばん短く、その値は理論どおり π になる。5つの高さから放した玉は、どれも π±10⁻³ で同時に底に着く。途中までの弧長も、数値積分と 4r(1−cos(t/2)) が 41 か所で一致した。下の動く図で放す位置を 31 通り動かしても降下時間は動かず、比べに置いたまっすぐな坂では 330 倍動く。

→ コーヒーカップの光（ネフロイド＝円の外を転がる円の同族・エピサイクロイド）

→ カテナリー（同じ17世紀に解かれた、もうひとつの力学曲線）

出典

数理

等時性は C. Huygens, Horologium Oscillatorium (1673)。最速降下線は Johann Bernoulli の公開問題 (1696) にニュートン・ライプニッツらが解答。弧長 8r は C. Wren (1658)

生成

generators/cycloid.js（転がし図・すべり台くらべ・降下時間は u² 置換＋シンプソン則）。軌跡、弧長と面積、降下時間、比べる曲線の計算は gallery/assets/cycloid-live.js にまとめ、上の図と動く図の両方がこれを使っている