ドデカゴナル — 時計の文字盤の非周期

30°菱形・60°菱形・正方形による12回対称の準周期タイリング。12枚の菱形の星が散らばる — 30°菱形（藍）・60°菱形（生成り）・正方形（薄茶）の3種・全辺同長。時計の文字盤と同じ12方位の対称性を統計として持つが、決して周期しない

なにか

ペンローズが5回対称、アンマン–ビーンカーが8回対称なら、これは12回対称——時計の文字盤と同じ方位の数を持つ非周期タイリング。結晶がとれる回転対称は2・3・4・6回だけ（結晶学的制限）だから、12回対称は「結晶には絶対に作れない秩序」で、実際に Ni-Cr 合金の準結晶として実物が見つかっている（石政ら 1985）。マッチング規則つきの原型はソコラーのタイリング (1989)。

作り方はアンマン–ビーンカーで使った de Bruijn の多重格子の双対をそのまま6方向（30°刻み）に広げただけ——4方向なら8回対称、6方向なら12回対称。「方向の数を変えるだけで別の準結晶一家が出てくる」こと自体が、この作り方（=高次元 Z⁶ の射影）の強さの証明になっている。枚数比は 30°菱形:60°菱形:正方形 = 1:√3:1 で、今度は√3が支配する。

どう作ったか

generators/ammann.js の多重格子双対を N=6 に一般化（差分は方向の数だけ）。機械検査は6件: 全6,885枚の全辺が単位長（10⁻¹⁵）・形が3種類だけ（面積 1/2・√3/2・1）・枚数比が 1:√3:1 に2%以内・乱数固定1500点が全てちょうど1枚に包含・辺方位が6方向に1%以内で均等（12回対称の統計）・SVG実物。

→ アンマン–ビーンカー（4方向版・8回対称）

→ 見取り図（「射影」の棚に12回が加わった）

出典

数理: J. E. S. Socolar, "Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals", Phys. Rev. B 39 (1989)。多重格子双対法は N. G. de Bruijn (1981) の一般化。12回対称準結晶の実在は Ishimasa, Nissen & Fukano, Phys. Rev. Lett. 55 (1985)
生成: generators/dodeca.js（6方向の多重格子・決定的オフセット・半径14）