アンマン–ビーンカー — 8回対称・銀比の非周期

なにか

ペンローズ（1974）が黄金比と5回対称の非周期なら、こちらは銀比 1+√2 と8回対称の非周期。1982年ごろ、在野の数学者ロバート・アンマンとオランダの学生ベンカーが独立に見つけた。正方形と45°菱形という、どちらも単体なら平面を周期的に埋められるありふれた2種が、マッチング規則の下では決して繰り返さない配置にしか並べない。枚数を数えると菱形:正方形→√2——コピー用紙の縦横比と同じ数が、枚数の比として現れる。

作り方が今回の主役で、置換ではなく de Bruijn の多重格子の双対を使った。45°刻みの4方向に平行線の族を重ね、線の交点1つを菱形1枚に「裏返す」と、この非周期タイリングが一撃で出てくる。これは4次元の周期格子 Z⁴ を斜めに切って射影する方法と等価——つまり非周期タイリングは、高次元の周期パターンの影。1984年に発見された準結晶（8回対称の電子回折を示す合金もある）が「結晶でないのに秩序がある」のも同じ理屈による。

どう作ったか

多重格子の双対化を自作実装（約60行・依存ゼロ）。機械検査は6件: 全3,884枚の全辺が単位長（誤差10⁻¹⁵）・形が2種類だけ（面積√2/2 と 1）・枚数比が√2に0.02%で一致・乱数固定2000点が全てちょうど1枚に包含（隙間・重なりゼロ）・辺方位が4方向に1%以内で均等（8回対称の統計）・SVG実物。

→ ペンローズ P3（黄金比・5回対称の従姉妹）

→ モアレ（「周期のずれが新しい秩序を生む」の最も身近な形）

→ 見取り図（「置換」に続く第2の作り方＝射影が加わった）

出典

数理

R. Ammann（1982頃・私信で流通）・F. P. M. Beenker, TH-Report 82-WSK-04 (1982)。双対化法は N. G. de Bruijn, "Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings" (1981) の一般化

生成

generators/ammann.js（4方向の多重格子・オフセットは決定的な定数・半径16）