源氏香の図

なにか

源氏香は香道の組香の 1 つである。改訂新版 世界大百科事典（コトバンク）の項には、香木 5 種をそれぞれ 5 包ずつ、計 25 包用意し、そのうち 5 包だけをたく、とある。答えは 5 本の縦線で書き、右が 1 回目、左端が 5 回目で、つなぎ方は 52 種類ある。初巻の桐壺と終巻の夢浮橋を除いた巻に図をあてた、とも書かれている。

数学の言葉にすると、5 回の香を「同じ香りどうし」の組に分けるやり方を全部並べたものになる。組の数は 1 つ（全部同じ）から 5 つ（全部ちがう）まであり、どの組に入るかだけが大事で、組に名前は付かない。

模型

分け方は 2 通りで作った。1 つ目は、1 回目の香を組 1 とし、次の香を「今までの組のどれか」か「新しい組」に入れていく作り方で、同じ分け方を二度作らない。2 つ目は、5 種の香の出方 5 × 5 × 5 × 5 × 5 ＝ 3125 通りを全部書き、同じ香の位置の組が同じものを 1 つにまとめる作り方である。縦線の本数を 3 本から 8 本まで振って、2 つの一覧が同じ中身になることを確かめた。

数は漸化式でも出した。分け方の総数はベル数、組の数ごとの数はスターリング数、入り組まない分け方の数はカタラン数である。どの本数でも、作って数えた数と漸化式の数は一致した。

52 通り、入り組まないのは 42

見立ての 1 つ目は、図の数は 5 つのものの分け方の数（ベル数）の 52 で、本数を 3〜8 にすると 5・15・52・203・877・4140 になる、だった。2 つの作り方でも漸化式でも同じ数になり、見立てどおりである。

見立ての 2 つ目は、横線どうしが交わらずに描ける図はカタラン数の 42 で、残りの 10 は組どうしが入り組む、だった。右から a、b、c、d の順に並ぶ 4 本で、a と c、b と d がそれぞれ同じ組になる図を「入り組む」と数えると、52 のうち 10 になった。本数 3〜8 でも、入り組まない分け方の数は 5・14・42・132・429・1430 でカタラン数に一致した。当たりである。入り組む 10 の図は、組の大きさが 3 と 2 のものに 5 つ、2・2・1 のものに 5 つあった。

見立ての 3 つ目は、組の大きさの型ごとの数は、5 が 1、4 と 1 が 5、3 と 2 が 10、3・1・1 が 10、2・2・1 が 15、2・1・1・1 が 10、全部ちがうが 1、だった。数えた数も、5 の階乗を型の大きさで割る閉じた式も、この 7 つの数になった。組の数ごとに数えると 1・15・25・10・1 で、スターリング数と同じである。

見立ての 4 つ目は、左右を裏返して同じ分け方に戻る図は 16 くらい、だった。数えると 12 で、外れた。本数 3〜8 では 3・7・12・31・59・164 になる。12 の中には御法のように入り組む図も入っていて、分け方としては裏返して同じでも、横線の高さまで入れると左右の形はそろわない。

横線の高さには、入り組む図だけ決まりが見えない

つないだ組がほかの組の範囲の内側にあるとき、図では内側の組の横線を一段下げ、1 本だけの縦線は頭を短くする。Wikimedia Commons にある 54 帖の香の図（ja.wikipedia の利用者が描いたものを描き直した図）を画像にして、藍の画素から棒の頭の高さと横線を機械で読んだ。ここは見立てを立てず、図を見てから規則を 2 つ立てて照らした。

規則 R1 は、右端（先にたいた香）がほかの組の範囲の内側にある組を下げる。規則 R2 は、左端（後にたいた香）がほかの組の範囲の内側にある組を下げる。入り組まない 42 の図では 2 つの規則は同じ答えになり、どの図でも香の図の段と一致した。入り組む 10 の図では、R1 とだけ合うのが須磨・絵合・初音・夕霧・匂宮の 5 つ、R2 とだけ合うのが花散里・胡蝶・行幸・御法の 4 つ、どちらとも合うのが蜻蛉だった。1 つの規則では 10 の図を全部は描けない。段の数が 3 になるのは真木柱・夕霧・御法の 3 つである。

江戸の錦絵（下の国貞のもの）でも、入り組む図のうち読めた 9 つは、どの組を下げるかが香の図と同じだった。

後の巻ほど、同じ香が多い

見立ての 5 つ目は、巻の順（2 帖目〜53 帖目）と図の並びに規則はなく、帚木が全部ちがう図、手習が全部同じ図で両端だけそろう、組の数と巻の順の順位相関は弱い（絶対値 0.3 未満）、だった。両端は見立てどおりだった。組の数の平均は、前半 26 帖が 3.12、後半 26 帖が 2.69 である。順位相関は −0.343 で、巻の順を 10 万回並べ替えて同じ強さ以上の相関が出る割合は 0.013 だった。後の巻ほど組が少ない（同じ香が多い）向きがあり、見立ては外れである。分け方の辞書順と巻の順の順位相関は −0.120（並べ替えで 0.39）で、こちらには向きが見えない。

全部ちがうのは 17 回に 1 回、全部同じは 1 万回に 1 回

見立ての 6 つ目は、25 包から 5 包を取ってたくと、いちばん出やすい図は「全部ちがう」で約 6%、「全部同じ」は 1 万回に 1 回ほど、だった。1 つの図の出る割合は、閉じた式で出せる。組の数を k、組の大きさを s として、5 × 4 × … と k 個かけた数に、組ごとの 5 × 4 × … と s 個かけた数をかける。これを 25 × 24 × 23 × 22 × 21 で割ればよい。25 包から順に 5 包を取る並び 6,375,600 通りを全部数えた割合も、52 の図のどれでも同じ値になった。

全部ちがう帚木は 5.88% で、見立てどおりである。4 種の香が出る 10 の図は 1 つずつ 4.71%、10 を合わせると 47% になる。2・2・1 の 15 の図は 1.88%、3・1・1 は 1.41%、3・2 は 0.38%、4・1 の 5 の図は 0.19% ずつだった。全部同じ手習は 0.0094% で、10626 回に 1 回にあたり、見立てどおりである。

巻との対応を 3 つの出どころで照らす

巻と図の対応は、Commons の香の図と、Quivira というフォントの字の名の 2 通りで確かめた。Quivira は、Unicode で各自が使ってよい番号の範囲（Private Use Area）に 54 字の源氏紋を持つ。字の名は「1-2-3 4-5」のように、左から数えた番号でつなぎ方を書いている。これを右から数える形に直すと、2 帖目から 53 帖目のうち 51 帖が香の図と同じになった。違ったのは若菜下で、Quivira では匂宮と同じ分け方の描き方違いが当ててある。ほかの 51 帖の分け方が決まると、52 を全部違う分け方にする残りは 1 つしかなく、それは香の図の若菜下と一致した。

江戸の刷り物との比べには、国立国会図書館にある国貞改豊国の錦絵『源氏香の図』55 枚（版元は書誌で〔山本屋平吉〕）を使った。国会図書館の画像を拡大して札の中の図を目で読むと、分け方として読めた 51 帖のうち 41 帖が香の図と同じだった。残りの 10 帖は、どれも別の巻の図と同じ形をしている。紅葉賀は若紫と、澪標と朝顔は薄雲と、少女は葵と、玉鬘は松風と、常夏は花宴と、若菜上は藤裏葉と、若菜下は若菜上と、横笛は藤袴と、紅梅は関屋と同じ形だった。胡蝶の図は縦線が 4 本しかない。

52 の外の 2 帖では、香の図の桐壺は賢木と同じ形、夢浮橋は行幸と同じつなぎ方を横線の高さを入れ替えて描いたものである。国貞の桐壺も賢木と同じ形で、国貞の夢浮橋は縦線が上と下で交互につながる図になっていた。

機械で分かる範囲と、目でしか分からない範囲

機械で確かめたのは、2 つの作り方の一覧が本数 3〜8 で一致すること、数が漸化式と合うこと、出やすさの閉じた式と数え上げが合うことである。香の図の 52 が全部違う分け方になっていることと、Quivira の字の名と香の図の対応も機械で照らした。

国貞の錦絵は目で読んだ。少女の図は 4 本目と 3 本目のあいだが白く抜けず細い線になっていて、別の棒として読んだ。若菜下と柏木の図は、輪郭だけの線（籠字）で描かれている。

どう作ったか

生成器は generators/genjiko.js である。分け方は「11213」のような 5 桁の列で持ち、右の縦線を 1 番目にした。香の図から読んだ段と、国貞と Quivira から読んだ分け方は generators/data/genjiko/chapters.json に置いた。カードと帳簿の図は、香の図から読んだ段で描いている。

確かめていないこと。源氏香がいつ誰によって始められたかは、辞典によって書き方がそろわず、原典を開いていないので書いていない。国貞の錦絵が刷られた年と、10 帖で別の巻の図と同じ形になっている理由も確かめていない。

出典

辞典

コトバンク「源氏香」。改訂新版 世界大百科事典の項（香木 5 種を 5 包ずつ計 25 包・5 包だけたく・52 種類・右から初炉・桐壺と夢浮橋を除く）と、精選版 日本国語大辞典の項（香元が 25 包から任意に 5 包とってたく）を読んだ

香の図

Wikimedia Commons「Gennji Kounozu.svg」（ja.wikipedia の Daisuke615 の図を Mukai が描き直したもの・CC BY-SA 3.0）。54 帖の図と巻名を画像にして読んだ。ja.wikipedia「香の図」「香道」の藤袴と澪標の説明で、右から数える向きを確かめた

フォント

「Quivira 4.1 Private Use Area」（quivira-font.com）の Genji-mon Symbols（U+F500〜F535）の 54 字の名を読んだ

錦絵

国立国会図書館デジタルコレクション、国貞改豊国『源氏香の図』（〔山本屋平吉〕）55 枚。一覧は Wikimedia Commons の Category「NDL-DC 1304761 Genji-kō no zu」で見つけ、図は国会図書館の IIIF の画像で見た

数理

分け方の作り方・ベル数・スターリング数・カタラン数・出やすさ・順位相関は、自分で組んで 2 つの経路で確かめた

親戚

家紋の対称群・丸台の組紐と置換の位数・ペントミノを長方形に詰める組み方

生成

generators/genjiko.js（genjiko.svg 表紙・genjiko-book.svg 帳簿）。数値は generators/data/genjiko/facts.json に書き出した