ジャイロイド — 蝶の翅と3Dプリンタの中身

なにか

1枚のつながった曲面が空間を2つの迷路に切り分けている。どちらの迷路も行き止まりがなく、しかも2つの迷路は合同——この曲面がジャイロイド。NASAの研究者アラン・シェーンが1970年に発見した「三重周期極小曲面」で、極小とはシャボン膜と同じく平均曲率がゼロ、つまりどの点でも膜が釣り合っていることを指す。鏡映対称面も直線も一切含まず、すべてが螺旋状によじれているのが名前（gyro=回る）の由来。

身近には2か所に隠れている。ひとつはミドリシジミなど蝶の翅の鱗粉の内部——キチン質がジャイロイド構造に並び、色素なしで緑色に光る（構造色）。もうひとつは3Dプリンタ。スライサーの充填パターン「gyroid infill」は、全方向に均等に強く、どこにも平らな弱い面がないこの曲面の性質をそのまま使っている。

どう作ったか

曲面はノーダル近似 sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x = 0（真のジャイロイドを式1本で近似したもの）。メッシュ化はマーチング・テトラヘドラを自作——立方体を6つの四面体に割り、符号が変わる辺を補間する。機械検査は7件: 三重周期が厳密・式が奇関数（＝2つの迷路が点対称で合同）・体積がちょうど半々・平均曲率がほぼゼロ（物差し自体を球で校正してから測り、最大|H|=0.033＝セル寸2πに対し曲率半径30以上）・オイラー標数 χ=−8（立方セル＝BCC慣用セル2個分・種数3×2＝穴の数の指紋）・SVG実物。

→ ミウラ折り 立体（同じ自作3D描画の1作目）

→ 見取り図（これで「極小曲面」の棚が埋まった）

出典

数理

A. H. Schoen, "Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections", NASA TN D-5541 (1970)。ノーダル近似は von Schnering & Nesper (1991) ほか。蝶の翅の構造色は Michielsen & Stavenga, J. R. Soc. Interface (2008)

生成

gallery/assets/gyroid3d.js（マーチング・テトラヘドラ自作・依存ゼロ）