双曲タイリング {7,3}

なにか

レタスの縁やサンゴのフリルは、なぜあんなに波打つのか。縁が内側より速く育つと、増えた長さは平面に収まりきらず、面は波打つしかない。これが負の曲率の世界（双曲平面）で、そこでは円周が半径に対して指数関数的に増えていく。無限に広がるその世界を1枚の円板に押し込んだ地図が、ポアンカレ円板である。縁へ行くほどタイルが小さく見えるが、それは地図の歪みで、住人にとってはどのタイルも同じ大きさだ。

この地図の上でなら、平面では絶対に不可能な敷き詰めができる。正七角形を、各頂点に3枚ずつ集める並べ方である。平面では角度が余って破綻する組み合わせ（128.6°×3＞360°）が、負曲率で多角形が「痩せる」ことでちょうど120°×3＝360°に収まる。エッシャーの「円の極限」シリーズはこの幾何で描かれている。平面の敷き詰め（ハニカムや Hat）とは、別の世界のタイリングである。

どう作ったか

中心の正七角形の外接半径は、直角双曲三角形の関係 cosh d = cot(π/7)·cot(π/3) から求めた。その七角形を、辺を通る測地線（単位円に直交する円）での反転で複製していく。反転は双曲距離を保つので、617 枚すべてで辺の双曲長が等しい。どのタイルも内角の和は 7×120° で、Gauss-Bonnet の定理から双曲面積は π/3 で一定になる。どの頂点にもちょうど3枚が集まり、重なりはない。

→ ハニカム（曲率ゼロの世界の正解）

→ 見取り図（「負の曲率」の棚はこの作品で開いた）

出典

数理

ポアンカレ円板モデルと正則タイリング {p,q}（(p−2)(q−2)>4 で双曲）。レタス縁と負曲率の対応は Nechaev と Voituriez (2001) ほかで研究がある古典的観察

生成

generators/hyperbolic.js（測地線反転のBFS・深さ5・617枚）