砂丘の風紋
跳躍とクリープだけを書いた模型で、平らな砂面から風紋を育てた。下の図では、歩数と3つのつまみを自分で動かせる。
なにか
砂浜を手でならしても、風が吹けばまた同じような間隔で縞が戻ってくる。雪原でも、水槽の底でも、砂時計をひっくり返した表面でも同じことが起きる。その「同じような間隔」はどこから来ているのか。
砂の運ばれ方は 2 つに分かれる。跳躍は、風に持ち上げられて弧を描き、少し先へ落ちる運ばれ方である。クリープは、落ちてきた粒に叩かれて、その場をじりじり転がる運ばれ方である。前者は砂を遠くへ運び、後者は凸凹をならす。西森と大内（1993）は、この2つだけを書いた最小の模型で風紋が出ることを示した。
この作品の要点は、飛距離がその場の高さで決まるところにある。出っぱったところにある砂粒は風をよく受けて遠くまで飛び、へこんだところの砂は近くに落ちる。それだけで平らな砂面は不安定になる。
波長は「選ばれる」。粗大化しない
初期のでたらめな凸凹（振幅 0.059）から始めると、60 歩でもう波長 11.2 の縞が立っている。そこから振幅は伸びるが 200 歩で止まり（1.578 → 4000 歩で 1.624）、波長も 11.1〜11.3 の幅から動かない。
これは当たり前のことではない。凸凹が育つ仕組みの多くは、時間とともにだんだん大きな構造へ移っていく（粗大化）。そうなると「波長」という量は時間の関数でしかなく、値として書けない。この模型ではそうならず、波長は定まった値に落ち着く。歩数を 1000 から 32000 まで 32 倍に振っても、波長は 11.2 から 11.7 のあいだにとどまり、動きは 4% ほどしかない。
格子の刻みを振っても同じで、512／1024／2048 マスで波長の比は動かない。砂の総量は 10⁻¹¹ の幅で保存されている（跳んだぶんだけどこかに落ちるので当然だが、実装が壊れていないことの確認になる）。
つまみが役割を分担している
「風紋の間隔は砂粒の飛距離で決まる」というのはよく聞く説明だが、模型で実際につまみを振ってみると、その言い方がどのくらい正確かが分かる。
- 跳躍距離を 4 → 20 に上げると波長は 6.14 倍になる（つまみは 5 倍）。ほぼ比例だが、比 λ/L₀ は 1.47 から 1.71 へ少し上がる。「比例」と言い切るには 1 割ほど足りない
- 高さへの敏感さを 1 → 8 に上げても波長は 1.18 倍にしかならない。いっぽう振幅は 0.26 倍に落ちる
- クリープを 0.05 → 0.6 に上げても波長は 0.84 倍。振幅は 0.21 倍
つまみが3つあっても、波長を握っているのは1つだけだった。あとの2つは、波長をほとんど動かさずに「模様の濃さ」だけを変える。ユークリッドリズムで「均等の二つの条件が、個数と並べ方を分担していた」のと同じ形をしている。複数のつまみがあるとき、それぞれが別々の量を握っていることがある。
ならしすぎると、模様は立たない
クリープを強くしていくと、あるところで模様が育たなくなる。しきい値は D* ≈ 0.615（種を5通り変えても 0.612〜0.619）。それより上では、初期のでたらめな凸凹がならされて終わる。チューリングや結晶のかたちと同じで、模様には「立つか立たないか」の境目がある。
振幅だけで判定すると、しきい値を取り違える。「振幅が初期の 5 倍を超えたら模様が立った」とすると、二分探索は D* = 1.098 を返す。ところがそこで出ているのは波長 2.01、つまり格子2マスおきに上下する振動である。クリープをあらわに解く書き方は D < 1 でしか安定でなく、その外では格子の振動が発散しているだけで、振幅が大きいからといって模様があるとは限らない。ここでは「NaN でない」と「波長が3マス以上」をあわせて見ている。
自分で動かす
下の絵は、あらかじめ描いた絵の切り替えではなく、ページを開いたその場で上の図と同じ計算をしている。歩数を動かすと、平らな砂から風紋が育つところがそのまま見える。
- 模様は立ったか
- —
- 波長
- —
- 振幅
- —
- 山の尖り（歪度）
- —
- 砂の増減
- —
スライダーで決めた条件で、その歩数まで進めた砂の断面
跳躍距離だけを動かして、波長の数字だけが素直について来ることを見てほしい。高さへの敏感さとクリープを動かすと、波長はほとんど動かないのに絵の濃さが変わる。クリープを 0.62 あたりより上げると、模様は立たなくなる。
どう作ったか
高さの列を輪にして、毎歩ぜんぶのマスから同じ量の砂を飛ばし、着地点で受け取る。着地は丸めずに線形補間で2マスに分ける。ここが要で、丸めると高さのちがい b·h が 1 マスに満たないうちは飛距離が全マス同じになり、模様が永久に育たない。波長はスペクトルの山の近く3本の重みつき平均で読む（山の位置は整数の波数にしか置けないので、長い波長ほど階段状に飛ぶ）。できあがった風紋の断面は歪度が正で、山が鋭く谷がなだらかになる。
→ チューリング（こちらも「一様が壊れて波長が選ばれる」棚。しくみは反応拡散）
出典
- 数理
- H. Nishimori and N. Ouchi, "Formation of ripple patterns and dunes by wind-blown sand", Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 197（跳躍＋クリープの最小模型）。実物の砂紋の間隔・粒径・風速と突き合わせたわけではない。確かめたのは「この最小模型から何が出るか」だけで、実物との比較はしていない
- 生成
- generators/ripple.js（跳躍とクリープの1歩・スペクトルと波長の読み取り・模様が立ったかの判定・クリープのしきい値の二分探索・つまみを振る掃引・図2枚。依存ゼロ・乱数は初期の凸凹だけ＝種を決めれば答えも決まる）。砂の計算は gallery/assets/ripple-live.js にまとめ、上の図と動く図の両方がこれを使っている