Spectre タイル
なにか
1種類の形だけで平面を隙間なく埋め、しかも模様が決して繰り返さない——その1枚を探す「アインシュタイン問題」は、2023年3月の Hat タイルで解決した。ただし Hat には小さな注釈が付く。左右の靴のように、裏返した鏡像も一緒に使うのだ。「裏返しも1種類と数えるのか？」という60年来の宿題に、同じチームが3か月後に出した答えがこの Spectre。右足の靴だけで床を敷き詰めるように、裏返しを一切使わずに平面を埋め、それでも決して周期しない。
種明かしがまた鮮やかで、Hat の家族だった。Hat は辺の長さ2種類の混合比で形が変わる連続族の一員で、その比をちょうど1:1にした Tile(1,1) は、鏡映を許すと周期的に並べられてしまう「例外の形」。ところが鏡映を禁止すると、並べ方は非周期しか残らない。そこで14本の辺を同じ曲線に置き換えて、鏡像が物理的にはまらないようにした——禁止ルールを形そのものに焼き込んだのが Spectre だ。
どう作ったか
原論文の置換システムを自作実装した。9種のメタタイル（Γ・Δ・Θ・Λ・Ξ・Π・Σ・Φ・Ψ）を7手の配置規則で8個ずつ束ね、一段ごとに鏡映を1回挟む。Γ だけは Spectre 2枚の複合「Mystic」で、相棒の1枚が30°傾く——タイル張り全体で奇数×30°回転になるのはこの相棒だけ。機械検査は15件: 枚数が漸化式と一致・全559枚が同キラリティ（det>0＝鏡映ゼロ）・14辺すべて単位長・回転角の30°量子化・成長率が 4+√15 に収束・内部辺3529本すべてで曲線のふくらみが逆向きに噛み合う・重なりと欠けなし、など。加えて記事のドラッグ版を偽DOMの上で実際に走らせる4項目（置換0〜4回で枚数が漸化式と一致し鏡映0枚・回転角の種類が 1→6→11→12→12・塗り分けの切替）・出荷SVGの生成器とドラッグ版が同じ1本のコードを共有していること・出荷SVGが生成器の今の出力とバイト一致すること（検査の実体は tools/spectre-live-test.js）。
★自分で動かす
下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/spectre-live.js を、記事の中で呼んでいる。置換の回数を 0 から 4 へ動かすと、1 枚が 4,401 枚へ増えていく。毎回、枚数を漸化式と突き合わせ、鏡映が 0 枚であること（det > 0）と回転角が 30° の倍数だけであることを数え直す。
- 枚数（実装／漸化式）
- —
- 鏡映の枚数（det ≤ 0）
- —
- 回転角の種類
- —
- 奇数×30° の枚数＝Mystic の相棒
- —
スライダーで決めた置換回数の Spectre タイリングのパッチ
回転角の種類は 1 → 6 → 11 → 12 → 12 で止まる——30° の倍数は 12 通りしかなく、そのうち奇数×30° を持つのは Mystic の相棒だけ。⚠️ 角度を −180〜180° のまま 360 で割ると −30° と 330° を別に数えて 13 通りに見える（自分で踏んだ）。⚠️ 置換のたびに鏡映が 1 回掛かるので、奇数回では先頭で 1 回戻して「全タイルが回転と平行移動だけ」に揃えている。上の出荷図は置換 3 回（559 枚）。
出典
- 数理
- D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, C. Goodman-Strauss, "A chiral aperiodic monotile", arXiv:2305.17743 (2023)。置換規則表の整理は Kaplan の公開実装を参照（コードは自作）
- 生成
- generators/spectre.js（置換3回・Δ 起点・曲線の縁は三次ベジェで自作）