Spectre タイル
Spectre タイルは、裏返しを使わずに1種類だけで平面を埋める。置換を3回繰り返した559枚でも裏返したタイルは0枚で、向きは30°の倍数の12通りに収まり、配置は周期的に繰り返さない。
なにか
1種類の形だけで平面を隙間なく埋め、しかも模様が周期的に繰り返さない。その1枚を探す「アインシュタイン問題」は、2023年3月の Hat タイルで解決した。ただし Hat には小さな注釈が付く。左右の靴のように、裏返した鏡像も一緒に使うのだ。「裏返しも1種類と数えるのか？」という60年来の問いに、同じチームが3か月後に出した答えがこの Spectre である。右足の靴だけで床を敷き詰めるように、裏返しを一切使わずに平面を埋め、それでも配置は周期的に繰り返さない。
Spectre のもとになった形は、Hat の仲間だった。Hat は2種類の辺の長さの比を変えると形が連続して変わる族の一つで、その比をちょうど1:1にした形が Tile(1,1)である。この形は、鏡映を許すと周期的に並べられてしまう例外だった。ところが鏡映を禁止すると、並べ方は非周期しか残らない。そこで14本の辺を同じ曲線に置き換えて、鏡像がはまらないようにした。裏返しを禁じる決まりを、形そのものに組み込んだのが Spectre である。
どう作ったか
原論文の置換システムを自分で実装した。9種類のメタタイル（Γ・Δ・Θ・Λ・Ξ・Π・Σ・Φ・Ψ）を7手の配置規則で8個ずつ束ね、一段ごとに鏡映を1回挟む。Γ だけは Spectre 2枚を組にした「Mystic」で、相棒の1枚が30°傾く。タイル張り全体で、30°の奇数倍だけ回っているのはこの相棒だけである。559枚はすべて同じ向きの面を上にしていて（裏返しは0枚）、14本の辺はすべて同じ長さで、回転角はすべて30°の倍数になった。枚数は漸化式と一致し、世代ごとの増え方は 4+√15 倍に近づく。内側の辺3,529本では、どこでも隣どうしの曲線のふくらみが逆向きに噛み合い、重なりも隙間もなかった。
自分で動かす
下の絵は、ページを開いたその場で上の図と同じ計算をしている。置換の回数を 0 から 4 へ動かすと、1 枚が 4,401 枚まで増えていく。そのたびに枚数を漸化式と比べ、裏返しが 0 枚であること（det > 0）と、回転角が 30° の倍数だけであることを数え直して表示する。
- 枚数（実装／漸化式）
- —
- 鏡映の枚数（det ≤ 0）
- —
- 回転角の種類
- —
- 奇数×30° の枚数＝Mystic の相棒
- —
スライダーで決めた置換回数の Spectre タイリングのパッチ
回転角の種類は 1 → 6 → 11 → 12 → 12 で止まる。30° の倍数は 12 通りしかなく、そのうち30° の奇数倍の向きを持つのは Mystic の相棒だけである。角度を −180〜180° のまま 360 で割ると、−30° と 330° を別に数えて 13 通りに見えてしまうので、数える前に 0〜360° にそろえている。置換のたびに鏡映が 1 回かかるため、回数が奇数のときは最初に 1 回裏返し、すべてのタイルが回転と平行移動だけで並ぶようにした。上の図は置換 3 回（559 枚）である。
出典
- 数理
- D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, C. Goodman-Strauss, "A chiral aperiodic monotile", arXiv:2305.17743 (2023)。置換規則表の整理は Kaplan の公開実装を参照（コードは自作）
- 生成
- generators/spectre.js（置換3回・Δ 起点・曲線の縁は三次ベジェで自作）