ペンローズの三角形

なにか

「不可能の中でも最も純粋な形」と作者自身が呼んだ不可能図形である。1958年、Lionel と Roger のペンローズ親子が発表した（息子ロジャーはペンローズ・タイリングと同じ人）。エッシャーはこれを見て「滝」を描いた。どの角を見ても2本の角材が正しく直角に接しているのに、3本まとめて作ることはできない。ホームセンターで角材を3本買ってきても、この形には絶対に組めない。

仕掛けを数値で言い当てられる。3本の角材を3Dで素直に置くと（x方向・y方向・z方向）、2つの継ぎ目は本当に接するが、最後の継ぎ目は (L−a)·(1,1,1) だけ離れている。ところが等角投影は方向 (1,1,1) を核に持つ。この方向の変位は絵に一切写らない。だから離れた2つの角材の端は、投影では8頂点すべてが厳密に一致する。「不可能」の正体は、投影の核にすっぽり隠れた変位だった。同じペンローズ親子の「無限階段」が、上がり続けるのに一周で戻ってくるのも同じ理屈で、一周のずれ（コサイクル）が視線の方向を向いている。

どう作ったか

直方体3本の3Dデータから面を投影して塗っただけで、2Dの頂点は1つも手で置いていない。描画順だけが「不可能」の演出で、最後にいちばん手前の角材の根元を描き直す（この隠面の輪は一方向に順序づけできず、図形の非向き付け性がそのまま描画のコードに現れる）。継ぎ目のうち2つは3Dでも接していて、最後の1つだけが3Dで 9.0 離れている。それでも、投影した8頂点はすべて厳密に重なる。一周のずれは3Dでは0でないのに、投影すると0になる。図は3回の回転の中心のまわりで、10⁻¹⁵ の精度で3回対称である。輪郭が囲む空きの領域は、外側と三角形の穴のちょうど2つになる。

→ ペンローズ・タイリング P3（同じ作者のもうひとつの「平面の不思議」）

→ 見取り図の発見11（パターンの一部は目の中で完成する）

出典

数理

L. S. Penrose & R. Penrose, "Impossible objects: a special type of visual illusion", British Journal of Psychology 49 (1958)。原案は Oscar Reutersvärd (1934) が独立に先行。コホモロジーによる定式化は R. Penrose, "On the cohomology of impossible figures" (1992)

生成

generators/tribar.js（直方体 a=1.3, L=6.5・等角投影・面の描画順で隠面を制御）