Wang タイル — 角の色を合わせるだけの最小非周期

なにか

Wang タイルは辺に色のついたただの正方形。回転も裏返しも禁止で、規則は「隣り合う辺は同じ色」だけ。1961年に論理学者の王浩（Hao Wang）が「どんなタイル集合も、敷けるなら周期的に敷けるはずだ」と予想したが、弟子のバーガーが2万枚超の反例=非周期にしか敷けない集合を見つけて予想は崩れた。以来「最小何枚まで減らせるか」の競争が55年続き、2015年にジャンデルとラオが計算機探索（数百コア×約1年）で決着させた: 11枚・4色が最小。10枚以下では非周期集合は存在しない。この作品はその歴史的な11枚そのもの。

身近な顔もある。ゲームのグラフィックスでは、繋ぎ目が合うタイル画像をランダムに敷いて「繰り返し感のない地面」を作る技法が Wang タイルと呼ばれ、まったく同じ数理が働いている。

どう作ったか

タイル表は原論文と Labbé の後続論文（図と Sage パッケージ）の2ソースで突合した。敷き詰めはバックトラッキング探索の自作——種によって解けるまでの手数が桁で違い、既定の種は24×16を70万手（0.2秒）で解く。機械検査は6件: タイル表11枚・色0..4・敷けた・全隣接辺の色一致（独立再検証）・11種全部使用・パッチに並進周期なし・SVG実物。

→ Hat タイル（「1種類」の問題の解。Wangは「最小何枚」の問題）

→ 見取り図（非周期の家系図がまた1本埋まった）

出典

数理

E. Jeandel & M. Rao, "An aperiodic set of 11 Wang tiles", Advances in Combinatorics (2021, arXiv:1506.06492)。タイル表の突合は S. Labbé, arXiv:1808.07768 Figure 1。ゲームへの応用は Cohen ら "Wang Tiles for Image and Texture Generation" (2003)

生成

generators/wang.js（バックトラッキング・種固定＝決定的・24×16）