モアレ01
同心円2組と平行線2組を、少しずらして重ねた。どちらの図にも縞は1本も描いていない。下の図では角度とピッチを動かして、縞の間隔が式どおりに変わるのを見られる。
なにか
網戸を2枚重ねたり、レースのカーテンが折り返ったり、縞のシャツをテレビで映したりして、細かい繰り返し模様が2枚重なると、どちらの模様にもなかった大きな縞が浮かび上がる。これがモアレである。数理は「差の波」で、2つの波を掛け合わせると和の波と差の波に分かれ（音でいう、うなり）、目に見えるのは低周波の差の項だけである。同じピッチ p の格子を角度 θ だけ回して重ねると、縞の間隔は p/(2sin(θ/2)) になる。θ が小さいほど縞は巨大になる。
つまりモアレは「小さなずれの拡大鏡」である。ノギスの副尺はこの拡大効果をそのまま測定器にした1次元モアレで、0.05mm のずれを目で読める太さに変換している。2018年には、グラフェン2枚を約1.1°だけ捻って重ねたモアレ超格子が超伝導することが見つかり（マジックアングル・グラフェン）、この「重ねてずらす」が物性物理の一大分野になった。
もう1枚
自分で動かす
下の絵は、あらかじめ描いた絵の切り替えではなく、ページを開いたその場で上の図と同じ計算をしている。ここでも縞は1本も描いていない。描いているのは平行線か同心円だけである。
θ を小さくするほど、縞はおよそ 1/θ に比例して大きくなる。ノギスの副尺は、この拡大効果を測定器にしたものである。
2つの中心を焦点とする双曲線の族が浮かぶ。円どうしの交点を幾何で別に計算し、双曲線の式に乗るかを確かめている。
- 縞の周期（実測）
- —
- 縞の周期（閉じた式）
- —
- 拡大率
- —
スライダーで決めた角度とピッチで重ねた2枚の格子（縞は描いていない）
どう作ったか
SVG には平行線と同心円しか描いていない。縞は1本も描いておらず、見えている縞はあなたの目（と画面）の上で生まれている。重ねた明度を走査し、自己相関で縞の周期を測ると、閉じた式 p/(2sin(θ/2)) と 3% 以内で一致した。角度を半分にすると、縞の間隔は2倍になる。同心円のほうは、円どうしの交点を幾何で別に計算し、双曲線の方程式に誤差 10⁻⁹ 以下で乗ることを確かめた。下の動く図でも、角度を 21 通り、ピッチを 5 通り、中心のあいだを 5 通り動かして、同じことが成り立つ。
モアレ連作
この1枚（差の波＝双曲線）を起点に、図形を替えたモアレを集めている。02 放物線の岸（円×直線）・03 風車のバラ（放射＝角度の副尺）・04 モアレ拡大鏡（紙幣の中の巨人）。かけ算の部屋には、応用が4つある。ひねった蜂の巣（第8号）・絹の水紋（第9号）・縞の等高線（第10号）・ひねった準結晶（第11号）。
出典
- 数理
- モアレ縞の古典幾何（Lord Rayleigh, 1874 が最初の定式化として知られる）。マジックアングルは Cao et al., Nature (2018)
- 生成
- generators/moire.js（線格子 θ=4°・同心円は中心距離130/ピッチ11）。格子の透過率、縞の周期の測定、同心円の交点の計算は gallery/assets/moire-live.js にまとめ、上の図と動く図の両方がこれを使っている