かけ算第23号｜ボロノイ × 泡 × 乾燥亀裂 — 詰まり方の帳簿は、作り方で変わるか

同じ150個の種から、順に割る・同時に割る（ボロノイ）・釣り合いへ緩めるの3通りで作った網目を、セルの辺の数で塗り分けた図。弁柄が5辺以下、生成りが6辺、藍が7辺以上 — 同じ 150 個の種から3通りに割った網目を、**辺の数で塗る**（弁柄＝5辺以下・生成り＝6辺・藍＝7辺以上・灰＝外枠に触れる縁のセルで帳簿から外す）。平均はどれも 6 の帳簿だが、分散 μ₂ は 4.17／1.70／4.17

この作品の問い

乾燥亀裂と柱状節理の発見33は「接合の角度は材料でなく時間割が決める」だった——同じ種から①順に割る（泥・T字）②同時に割る（ボロノイ・Y字）③①を釣り合いへ緩める（玄武岩）の3通りで網を作ると、角度の分布は変わるのに、オイラーの帳簿（⟨辺⟩ = 6、角で数えれば 4）は同じだった。

平均が同じでも、分布と隣どうしの相関は同じだろうか。セルの網目には古い経験則が2つある。

Lewis の法則（1928・キュウリの表皮）: n 辺のセルの平均面積 A(n) は n に比例して増える。Aboav–Weaire の法則（1970/1974・セラミックの粒と泡）: n 辺のセルの隣の平均辺数 m(n) は n·m(n) = (6 − a)n + b と直線に乗り、多い辺の隣には少ない辺のセルが来る。この2つを3通りの網に同じ物差しで当て、係数が作り方で動くかを見る。

帳簿の道具

網の面を全部拾い（亀裂の面歩きをそのまま使う）、面ごとに辺の数（接合点の数）・角の数（180° でない頂点）・面積・辺を共有する隣を集める。外枠に触れる縁のセルは切り取られているので帳簿から外す。

★b は自由でない。Weaire の恒等式 Σ n·m(n) = Σ n² は、どんな網でも厳密に成り立つ（各セルの n が、その隣の数 n 回ぶん数えられるだけ）。だから直線なら (6 − a)⟨n⟩ + b = ⟨n²⟩、⟨n⟩ = 6 なら b = μ₂ + 6a（μ₂ は n の分散）。この式は自分で出し、3つの網で恒等式がずれ 0 で成り立つこと、当てはめた b が式と 1.5 以内で合うことを検査した。
★道具の答え合わせ: 三角格子の母点のボロノイ（蜂の巣）は内側 67 セルが全部 6 辺・μ₂ = 0 ちょうど。

★答え——作り方で動くのは分散と面積の帳簿。隣の相関は読めない

網	⟨n⟩	分散 μ₂	Lewis 傾き	Aboav–Weaire a
① 順に割る（泥・T字）	5.71	4.17	0.34	0.76
② 同時に割る（ボロノイ）	5.80	1.70	0.18	0.58
③ ①を釣り合いへ緩める	5.71	4.17（①と厳密に同じ）	0.50	0.76（①と厳密に同じ）

★緩和は「つながりの帳簿」を1ビットも変えず、「面積の帳簿」だけを変える。③は①の接合点を動かしただけなので位相が同じ——辺の数の分布も、隣の辺数の多重集合も、μ₂ も a も厳密に一致する。それでも Lewis の傾きは 0.34 → 0.50 に動いた。釣り合いへ緩めると、面積は辺の多いセルへ寄る。泡の「辺の数だけで育つか縮むかが決まる」の静的な影である。

順に割る①はボロノイ②より辺の数の分散が 2.5 倍大きい（4.17 vs 1.70）。T字で割ると、あとから来た亀裂が既存のセルを 3〜4 辺の小片に切り、切られた側は 8〜14 辺の大きなセルとして残る。同時に割ると（ボロノイ）そういう偏りが出ない。Lewis の傾きも①のほうが大きい。

いっぽう Aboav–Weaire の a は、種と個数を振ると ①0.20〜1.03・②−0.11〜1.11・③0.16〜0.97 と重なる。100〜200 セルの網では、作り方の差が読めるほど a は安定しない。⚠️「a は作り方で変わる」とも「変わらない」とも、この規模では言えない。

何を「辺」と呼ぶか

左: Lewisの法則（辺の数に対する平均面積）を3つの網と、亀裂を角で数えたものの4系列で描いた図。右: Aboav–Weaireの法則（n×隣の平均辺数）の同じ4系列 — 左: Lewis（A(n)/⟨A⟩ vs n）。右: Aboav–Weaire（n·m(n) vs n・砂色の点線は相関なし m(n) = 6）。点線の系列は亀裂①を「角」で数えたもの

亀裂①の接合は T 字で、180° の側にも接合点がある。接合点で数えれば ⟨n⟩ = 5.7（6 の帳簿）、角で数えれば ⟨角⟩ = 4.07（4 の帳簿）——発見33 の「泥の四角と蜂の六角は同じ帳簿」がここでも出る。そして角で数えた Aboav–Weaire は R² = 0.999・a = 2.36 でいちばん強い直線に乗る。Lewis も Aboav–Weaire も、何を辺と呼ぶかで別の直線になる。

どう作ったか

generators/cellbook.js。網は crack.js の3模型（growNetwork／voronoiCells／relax）を同じ種で回し、面は crack.js の traceFaces で拾う。当てはめはセル数で重みをつけた最小二乗（3 個未満の n は使わない）。⚠️ 有限の網なので内側の ⟨n⟩ は 6 を少し下回る（ボロノイを 2000 セルにすると 5.94 まで上がる）。⚠️ 大きい網（250 個）では緩和で辺が潰れて位相が少し変わることがあり、「厳密に同じ」は 150 個・種 7 で確かめたもの。

検査は 14 件。蜂の巣で μ₂ = 0、Weaire の恒等式のずれ 0、①と③の多重集合の厳密一致と Lewis の傾きの差、①と②の μ₂ の差、直線の R²、b = μ₂ + 6a との差、角で数えた帳簿、種と個数を振った幅（Lewis と μ₂ は分かれ a は重なる）、出荷SVG を機械検査している。

出典

数理: F. T. Lewis (1928) 表皮細胞の面積と辺数／D. A. Aboav (1970) セラミックの粒／D. Weaire (1974) 恒等式 Σ n·m(n) = Σ n²。⚠️ 実物の泡・泥・粒の測定とは突き合わせていない
親: ボロノイ図 × 泡の法則 × 乾燥亀裂と柱状節理（発見33・同じ種から3通り）
生成: generators/cellbook.js（cellbook.svg 3つの網・cellbook-laws.svg 2つの法則）