泡の法則
3辺から9辺までの泡を 120° の頂点で組み、辺の数と膜の曲がり方の関係を確かめた。
なにか
シャボンの泡が集まると、膜は必ず3枚ずつ 120°で出会う（Plateau の法則）。この作品では 120° を仮定せず、同じ張力の膜3枚が1点で釣り合う向きを解いた。答えは 120.000000°（残差 10⁻³¹）になった。3次元では辺が4本ずつ出会い、その角は arccos(−1/3) = 109.4712° になる（4方向の単位ベクトルの和がちょうどゼロ）。
そこから先が本題である。頂点が 120° に決まってしまうと、泡の輪郭が1周でどれだけ曲がるかは辺の数だけで決まる。式で書くと ∮κds = (π/3)(6 − n) である。曲率は膜が動く速さそのものなので（曲がっている膜は中心へ動く）、面積の増減も辺の数だけの関数になる。これが von Neumann の法則 dA/dt = (πM/3)(n − 6) である。
曲率の総量は、先に決まっている
理由は帳簿である。1周すると接線は必ず 2π 回る。頂点1つで π/3（= 180°−120°）ぶん回るので、n 個の頂点で nπ/3 になる。残りを弧が受け持つから ∮κds = 2π − nπ/3 = (π/3)(6 − n) となる。設計の自由はどこにもない。
これは Resch パターンで見た「曲率は総量が先に決まっていて、設計の自由は配り方だけ」（発見13）と同じ帳簿である。あちらは紙の角の欠損（Σδ = 2πχ）で、こちらは泡の膜の曲率である。折り紙と泡が同じ式で縛られている。
数値の一致も確かめた。相対誤差は 0.04% で、刻みを10倍細かくすると誤差が10分の1になる（2.1×10⁻³ → 2.1×10⁻⁴ → 2.1×10⁻⁵）。つまり残っているずれは式のずれではなく、弧を折れ線で近似したぶんだった。
「平均6」が、育つ泡と縮む泡を釣り合わせている
ボロノイ図の平均隣接数は6である（発見9「平均6は平坦の特権」）。泡でも同じで、内部 144 セルの平均辺数は 6.014。すると 縮む側（5辺以下）42 個と育つ側（7辺以上）46 個がほぼ同数になる。「平均6」という平面の事情が、そのまま泡の生き死にの釣り合いになっていた。
時間が経つと泡は粗くなる（大きい泡だけが残る）。その理由もここにある。縮んだ泡が消えると、隣の泡の辺の数が変わり、6辺だったものが7辺になって育ち始める。個々の泡の運命は辺の数だけで決まるのに、全体としては「大きいものが勝つ」という向きが出てくる。
どう作ったか
頂点を単位円上に等間隔に置き、各辺を「弦から δ = (2π/3 − (n−2)π/n)/2 だけ持ち上げた円弧」にすると内角がちょうど 120° になる（n=6 だけ δ=0＝直線）。曲率の総量は弧を折れ線にして接線の回転を積む。Plateau の 120° は仮定せずに力の釣り合いを降下法で解いた。動かす計算（時間発展）は実装していない。確かめたのは静的な帳簿（∮κds）までで、dA/dt はそこからの帰結として述べている。
出典
- 数理
- J. Plateau (1873) の法則と、その数学的な証明 J. Taylor, "The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces", Ann. of Math. 103 (1976)。面積の増減則は J. von Neumann (1952) と W. W. Mullins, "Two-dimensional motion of idealized grain boundaries", J. Appl. Phys. 27 (1956)。ここで確かめたのは静的な恒等式 ∮κds = (π/3)(6−n) と2つの角度で、時間発展そのものは実装していない
- 生成
- generators/foam.js（弧多角形の構成・内角と曲率の総量の数値測定・面積・Plateau の角を張力の釣り合いから解く・4面体角・図2枚。依存ゼロ・乱数ゼロ。平均6の検査は generators/voronoi.js を借用）