かけ算第12号｜非周期のケルト装飾 × 結び目の不変量
結ばれた輪
非周期のケルト装飾から糸を1本ずつ抜き出し、ジョーンズ多項式で結ばれているかを調べた。
問い
非周期のケルト装飾では「何本の糸でできているか」を数えた。次の問いは自然に出てくる。その糸を1本だけ抜き出したら、それは結ばれているのか。ケルトの組紐は見た目こそ複雑だが、1本ずつ見てもただの輪にすぎないのかどうかは、見た目だけでは分からない。ジョーンズ多項式があれば、勘ではなく計算で答えられる。
やり方は単純で、輪1本を選び、他の糸を全部消す。残るのはその糸の自己交差だけで、それがその成分の結び目図式そのものになる。あとは多項式を計算すればよい。
結果。ペンローズだけが結ぶ
| 土台 | 縁に触れない輪 | 巻き数 | 自己交差 | 結び目型 |
|---|---|---|---|---|
| アンマン–ビーンカー | 54本 | すべて 1 | すべて 0 | すべて自明（ほどける） |
| Hat（置換3回） | 148本 | すべて 1 | すべて 0 | すべて自明（ほどける） |
| ペンローズ P3（置換6回） | 72本 | 1・2・3 | 0・5・10・20 | 自明45本 / T(2,5) 10本 / T(3,5) 16本 / T(3,10) 1本 |
アンマン–ビーンカーと Hat の糸は、どれだけ長くても自分自身とは一度も交わらない。平面上の単純閉曲線なので、抜き出せばただの輪になる。土台くらべで見た「Hat の14輪は鏡映の帽子を1枚ずつ囲む」も、結び目としては全部ほどける。
ペンローズだけが違う。72本のうち27本が本当に結ばれていて、しかも出てくる結び目はトーラス結び目だけで、五葉結び目 T(2,5)（＝5₁）、T(3,5)（＝10₁₂₄）、そして図の中心にただ1本の T(3,10) である。ペンローズの5回対称が、結び目の名前の中に現れる。
発見: 輪はロゼット、結び目型は T(巻き数, 花弁数)
抜き出した輪を並べると、正体が見える。どの輪も中心のまわりを w 周する n 花弁のロゼット。星型多角形 {n/w} をそのままなぞっている。ここから2つの量が出る。
① 自己交差の数はちょうど n(w−1)。五芒星 {5/2} が5つの交差を持つのと同じ理屈で、花弁の数と巻き数だけで交差数が決まる。② 結び目型は T(w, n)。巻き数がトーラス結び目の第1指数、花弁の数が第2指数になる。w=1（1周して戻る）なら T(1,n) は自明で、ほどける。
この2つは、独立な2通りの検算になっている。①は幾何（点の位置だけ）から、②は多項式（上下の編み方だけ）から出る。ペンローズ置換6回の72本・アンマン–ビーンカー54本・Hat 148本の合計274本すべてで両方が成立した。だから、アンマン–ビーンカーと Hat の糸がほどけるのは偶然ではなく、この2つの土台は巻き数1の輪しか作らないという構造の違いに帰着する。
置換7回のペンローズ（内輪197本）でも195本で成立し、新しい家系（130弧の T(3,10) が5本に増える）も出た。破れる2本は最も大きな輪で、半径の角スペクトルが単一の周波数になっておらず、「花弁」が定義できない形をしている（自己交差は50個と190個で、多項式の総当たりは 2⁵⁰ 通り＝計算不能）。ここは未確定のまま置く。ロゼットになっていない輪が何を編んでいるかは、まだ測れていない。
どう作ったか
輪の抜き出しは celtic.trace の弧列から、同じ交差を2回通っている交差だけを残す。それぞれの交差で4本の端の反時計回りの順序を幾何から決め（下をくぐる糸の入口を先頭にする PD 記法の約束に従う）、上下は既存の2彩色から取る。あとは ジョーンズ多項式の計算器にかけるだけ。巻き数は中心まわりの回転角の総和から、花弁の数は中心からの距離の極大の回数から数える。
ペンローズの72本すべてで自己交差の数は n(w−1) になり、多項式は T(w,n) の閉形式と（鏡像も込めて）一致した。比べに置いたアンマン–ビーンカーと Hat の全202本は、どれも巻き数1・自己交差0で、V=1 になる。
出典
- 数理
- ジョーンズ多項式は V.F.R. Jones (1985)、計算は L.H. Kauffman のブラケット (1987)。中間グラフが交代絡み目になることは P.G. Tait の古典的観察。トーラス結び目の多項式の閉形式は標準的な公式（当ギャラリーでは総当たりと突き合わせて検証）
- 生成
- generators/celtic-knot.js（輪の抜き出し・巻き数と花弁の測定・結び目型の同定）＋ generators/jones.js ＋ generators/celtic.js