結ばれた輪 — 非周期の織りの中で、本当に結ばれている糸はどれか

問い

非周期のケルト装飾では「何本の糸でできているか」を数えた。次の問いは自然に出てくる——その糸を1本だけ抜き出したら、それは結ばれているのか。ケルトの組紐は見た目こそ複雑だが、1本ずつはただの輪かもしれない。ジョーンズ多項式があれば、勘ではなく計算で答えられる。

やり方は単純: 輪1本を選び、他の糸を全部消す。残るのはその糸の自己交差だけ——それがその成分の結び目図式そのもの。あとは多項式を計算するだけ。

結果 — ペンローズだけが結ぶ

アンマン–ビーンカーと Hat の糸は、どれだけ長くても自分自身とは一度も交わらない＝平面上の単純閉曲線＝抜き出せばただの輪。土台くらべで見た「Hat の14輪は鏡映の帽子を1枚ずつ囲む」も、結び目としては全部ほどける。

ペンローズだけが違う。72本のうち27本が本当に結ばれていて、しかも出てくる結び目がトーラス結び目しかない: 五葉結び目 T(2,5)（＝5₁）、T(3,5)（＝10₁₂₄）、そして図の中心にただ1本の T(3,10)。ペンローズの5回対称が、結び目の名前の中に現れる。

発見: 輪はロゼット、結び目型は T(巻き数, 花弁数)

抜き出した輪を並べると、正体が見える。どの輪も中心のまわりを w 周する n 花弁のロゼット——星型多角形 {n/w} をそのままなぞっている。ここから2つの量が出る。

① 自己交差の数はちょうど n(w−1)。五芒星 {5/2} が5つの交差を持つのと同じ理屈で、花弁の数と巻き数だけで交差数が決まる。② 結び目型は T(w, n)——巻き数がトーラス結び目の第1指数、花弁の数が第2指数になる。w=1（1周して戻る）なら T(1,n) は自明＝ほどける。

この2つは独立な2経路の検算になっている: ①は幾何（点の位置だけ）から、②は多項式（上下の編み方だけ）から出る。ペンローズ置換6回の72本・アンマン–ビーンカー54本・Hat 148本の合計274本すべてで両方が成立した。だから「A–B と Hat の糸がほどける」のは偶然ではなく、この2つの土台は巻き数1の輪しか作らないという構造の違いに帰着する。

置換7回のペンローズ（内輪197本）でも195本で成立し、新しい家系（130弧の T(3,10) が5本に増える）も出た。破れる2本は最も大きな輪で、半径の角スペクトルが単一の周波数になっていない＝「花弁」という言葉が定義できない形をしている（自己交差は50個と190個で、多項式の総当たりは 2⁵⁰ 通り＝計算不能）。ここは未確定のまま置く——ロゼットになっていない輪が何を編んでいるかは、まだ測れていない。

どう作ったか

輪の抜き出しは celtic.trace の弧列から、同じ交差を2回通っている交差だけを残す。それぞれの交差で4本の端の反時計回りの順序を幾何から決め（下をくぐる糸の入口を先頭にする＝PD記法の約束）、上下は既存の2彩色から取る。あとは ジョーンズ多項式の計算器にかけるだけ。巻き数は中心まわりの回転角の総和、花弁の数は中心からの距離の極大の回数。

機械検査は8件。①ペンローズ72本すべてで自己交差 = n(w−1)　②同72本すべてで多項式が T(w,n) の閉形式と一致（鏡像込み）　③T(2,5)・T(3,5)・T(3,10) の実測式が閉形式と厳密一致　④対照（片親に戻す）: A–B と Hat の全202本が巻き数1・自己交差0・V=1　⑤出荷SVG2枚。

→ 結び目の不変量（この作品の計算器そのもの）

→ 非周期のケルト装飾（親その1・糸の本数と輪の階層）

→ ペンローズ・タイリング P3（5回対称の出どころ）

出典

数理

ジョーンズ多項式は V.F.R. Jones (1985)、計算は L.H. Kauffman のブラケット (1987)。中間グラフが交代絡み目になることは P.G. Tait の古典的観察。トーラス結び目の多項式の閉形式は標準的な公式（当ギャラリーでは総当たりと突き合わせて検証）

生成

generators/celtic-knot.js（輪の抜き出し・巻き数と花弁の測定・結び目型の同定）＋ generators/jones.js ＋ generators/celtic.js