結び目の不変量

結び目の絵からジョーンズ多項式を計算し、交差の数が違う絵を並べて、同じ結び目かどうかを見分けた。

3本の糸を14回組んで閉じたトーラス結び目 T(3,7) のロゼット — トーラス結び目 T(3,7)。3本の糸を7回ひねって輪に閉じたもので、ロープをドーナツの表面に巻きつけた形。1本の糸でできていて、どうやってもほどけない

なにか

ポケットから出したイヤホンのケーブルを見て、誰もが同じ問いを立てる。これは引っぱればほどけるのか、それとも本当に結ばれているのか。人間は絵を睨んで勘で答えるが、数学はこの問いに機械的な答えを持っている。

難しさは「同じ結び目の絵が無限にある」ことにある。糸をどうくねらせても結び目そのものは変わらない（ライデマイスターの3つの移動）。だから欲しいのは絵を変えても値が動かない量で、これを不変量と呼ぶ。1984年、V. ジョーンズは作用素環（フォン・ノイマン環）の研究をしていて、まったく別の目的の計算から結び目の不変量が落ちてくることに気づいた。これがジョーンズ多項式で、彼はこの発見でフィールズ賞を受けた。

この作品では、その多項式を自分で計算した。多項式 V が 1 でなければ、その糸は絶対にほどけない。絵をいくら描き替えても無駄だ、と証明できる。

交差の数は、結び目の性質ではない

3交差の三つ葉結び目、6交差だが同じ三つ葉、6交差だが正体は自明な結び目 — 左＝三つ葉結び目（3交差）。中＝交差を3つ足しただけの、同じ三つ葉（6交差）。右＝6交差もあるのに、引っぱればただの輪に戻る。中と右は絵がよく似ているが、多項式は `t + t³ − t⁴` と `1` ではっきり違う

中央の絵は左と同じ結び目で、安定化と共役という変形で交差を足しただけである。右の絵は、自明な輪から同じ種類の変形だけで作ったので、正体は必ずただの輪になる。目で見分けるのはほぼ不可能だが、多項式ならすぐに仕分けられる。逆に言えば「交差が6つある絵」は「6回結ばれている」ことを意味しない。

結び目図鑑

自明な結び目・三つ葉・8の字・ホップ絡み目・五葉結び目・T(3,4) — 上段: 自明な結び目 / 三つ葉 3₁ / 8の字 4₁　下段: ホップ絡み目 2²₁ / 五葉結び目 5₁ / T(3,4)=8₁₉

自明な結び目 V = 1。ほどける輪の基準になる
三つ葉 3₁ = T(2,3) V = t + t³ − t⁴。1 ではないので、ほどけない。しかも V(t) ≠ V(1/t) なので鏡像とは違う結び目（キラル）で、右巻きの三つ葉は左巻きに変形できない
8の字 4₁ V = t⁻² − t⁻¹ + 1 − t + t²。式は t ↔ 1/t で対称で、実際この結び目は鏡像と同じ（アンフィキラル）である
ホップ絡み目 2²₁ V = −t^1/2 − t^5/2。輪が2本の絡み目では t の指数が半整数になる
五葉 5₁ = T(2,5) V = t² + t⁴ − t⁵ + t⁶ − t⁷
T(3,4) = 8₁₉ V = t³ + t⁵ − t⁸。交差8個なのに項は3つだけ。トーラス結び目 T(3,q) はいつも3項になる

100年の予想が、この多項式で落ちた

19世紀の物理学者 P.G. テイトは結び目の表を作りながら、こう予想した。交代図式（糸をたどると上・下・上・下と必ず交互になる絵）で、無駄な交差がなければ、その交差の数がその結び目の最小交差数である。当たり前に見えて、100年間だれも証明できなかった。1987年、カウフマン・村杉・シスルスウェイトはジョーンズ多項式のスパン（最高次 − 最低次）がちょうど交差数に等しいことを示し、予想を落とした。

この作品でも確かめた。T(2,n) の交代図式（n = 2〜9）では、span V = n がぴたりと成り立つ。比べに置いた、交代でない 4 交差のスパイラルでは span V = 0 になり、定理には交代という前提が要ることが分かる。ケルト装飾の織りは必ず交代になるので、この定理がそのまま使える。

どう作ったか

計算には L. カウフマンのブラケット状態和を使う。各交差を2通り（A・B）に「平滑化」して糸を切り開くと、交差ゼロの輪だけが残る。2^交差数通りすべてについて「A の回数 − B の回数」と「残った輪の本数」を数え、d = −A² − A⁻² を輪の本数−1 乗して足し上げる。最後にライズ（交差の符号の和）で正規化し、A = t^−1/4 を代入するとジョーンズ多項式になる。係数はすべて整数のまま扱うので、丸めの誤差は入らない。

図式は「閉組紐」から作る。n 本の糸を並べ、σ_j（j 番目が j+1 番目の上を通る）の列で編み、上端と下端を繋ぐ。トーラス結び目 T(p,q) は、σ₁ から σ_p−1 までを順に並べた列を q 回くり返して閉じたものになる。

計算した多項式は、既知の7つ（自明・三つ葉・8の字・ホップ・5₁・T(3,4)・T(3,5)）と一致した。鏡像の法則 V_鏡(t) = V(1/t) は5つの例で厳密に成り立つ。マルコフ安定化・共役・R2 の挿入で交差を6個まで増やしても、多項式は変わらない。連結和では積 V(K₁#K₂) = V(K₁)V(K₂) になり、スケイン関係式 t⁻¹V(L₊) − tV(L₋) = (t^1/2−t^−1/2)V(L₀) も満たす。トーラス結び目の閉形式 V(T(p,q)) = t^{(p−1)(q−1)/2}(1 − t^p+1 − t^q+1 + t^p+q)/(1−t²) は、総当たりの結果と9組で一致し、割り算の余りは 0 だった。

→ 結ばれた輪（かけ算第12号）。この多項式でケルト装飾の糸の正体を突き止める

→ 組紐と最大公約数（糸の本数＝gcd。閉じ方はこの作品のトーラス絡み目と同じ）

→ 非周期のケルト装飾（交代性＝スパン定理が使える形）

出典

数理: V.F.R. Jones, "A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras", Bull. AMS 12 (1985) 103–111。状態和は L.H. Kauffman, "State models and the Jones polynomial", Topology 26 (1987) 395–407。スパン定理は Kauffman / K. Murasugi / M.B. Thistlethwaite（いずれも 1987・テイトの予想 1898 の解決）
生成: generators/jones.js（ローラン多項式の整数演算・Union-Find による状態ごとの輪の計数・閉組紐の極座標ロゼット描画。すべて依存ゼロ）