異方性 DLA

なにか

マンガン樹（石の割れ目に育つ黒い樹枝）、窓の霜、電池の電極に生える金属の枝、そして雪の結晶は、どれも DLA と同じ「拡散してきて触ったら凍る」で育つのに、枝の向きの数は決まっている。雪なら6方向である。何が向きを決めているのか。

候補のひとつは格子（結晶の並び）である。そこで同じ DLA を4近傍（正方格子）と6近傍（三角格子）で走らせて、腕の向きを測った。

1つのクラスタの「腕」は、たいてい偶然

まず測り方を決める。外側1/4の粒子の角度 θ を集めて c_k = Σe^ikθ/N を出す。k 回対称の腕が立っていれば |c_k| が大きい。ところが1つのクラスタだけを見てはいけない。枝の向きは偶然でも偏るので、2本腕・3本腕が格子と無関係に大きく出る（1つのクラスタで A₃=0.53 など）。

格子由来の異方性は位相が固定（格子の軸に揃う）なので、種を変えて c_k を複素数のまま平均すれば偶然だけが消える。さらに床を同じデータから作る。各クラスタをわざとランダムに回してから同じ平均を取る（格子の位相ロックだけを壊した対照）。床の2倍を超えなければ「立っていない」。

数字は「位相をそろえた平均 / 床」で、太字は床の2倍を超えたもの。粒子は1400、種は8本である。乱数をそのまま流すと、格子の向きは床を超えない。薄めると 4近傍で A₄=0.705（床の3.3倍）が立ち、しかも腕の向きは0.4°で、格子の軸そのものである。図の十字がこれにあたる。

6近傍では立たなかった

いっぽう三角格子（6近傍）では、払える範囲で 6回対称が立たなかった。探した範囲は、薄め方 hits=1・3（粒子1400・種8本）と hits=6（粒子700・種8本）である。A₆ はどの設定でも床の1.1〜1.5倍に留まる（hits=6 では 0.124 / 床0.109）。

Libbrecht の総説（2005）は、樹枝の先端が形を保って伸びるには、界面（氷と水蒸気の境目）の表面張力か、くっつきやすさのどちらかに向きの偏り（異方性）が要ると書いている（p.887）。氷のくっつきやすさは実際に向きで違うとも書いている（p.888）。この模型にはその項がない。「格子を6近傍にすれば雪になる」ではなかった。ここは正直に空欄にしておく。

測る側が偽物を作ることもある。三角格子の座標を軸座標 (q,r) のまま四捨五入すると、A₄ が向き23°で 0.475 まで立つ（6回対称の格子なのに4回対称になる）。丸めのセルが平行四辺形で、60°回転に対して対称でないためで、立方座標に移して丸める（x+y+z=0 の最近点）と消える。丸め方の癖は、偶然の腕より見分けにくい。手がかりは、設定を変えても向きの位相が同じ値（23.2°→23.4°）にとどまることだった。

どう作ったか

格子は「隣の取り方」と「格子座標→画面座標」の2つで定義してあり、差し替えられる（この仕組みはかけ算第14号で非周期の格子に流用した）。乱数の薄め方は「同じマスに何回当たってから凍るか」で決め、これをノイズ低減 DLA と呼ぶ。クラスタから遠いあいだは大きく飛ぶ高速化を入れてある（連続極限では「半径 d の円周上に一様」が厳密。くっつく直前の1歩は必ず格子の上を歩くので格子の異方性は失われない）。

上の表は、種を8本そろえた測定の結果である。乱数は自前の擬似乱数で、同じ種なら結果は完全に同じになる。

→ DLA（雷の枝・この作品の親）

→ 誘電破壊（もうひとつの親戚・つまみ η で苔から一本道へ）

→ 準結晶の上の雷（かけ算第14号・非周期の格子は向きを与えるか）

出典

数理

DLA は T. A. Witten & L. M. Sander, Phys. Rev. Lett. 47, 1400 (1981)。ノイズ低減 DLA（同じ場所に m 回当たってから凍らせる）は J. Nittmann & H. E. Stanley, Nature 321, 663 (1986) ほか。樹枝の先端に異方性が要ることは K. G. Libbrecht, "The physics of snow crystals", Rep. Prog. Phys. 68 (2005) 855–895 の p.887〜888（著者のサイトの PDF で読んだ）。この模型では確かめていない

生成

generators/dla-lattice.js（格子を差し替えられる DLA・三角格子は立方座標で丸め・ノイズ低減・遠方の大きな跳び・腕のスペクトルと「わざと回した床」。依存ゼロ・乱数は自前 PRNG）