かけ算第14号｜DLA × アンマン–ビーンカー／ペンローズ
準結晶の上の雷
非周期タイリングの頂点を格子にして DLA を育て、枝が向きを持つかを測った。
問い
異方性 DLA で分かったのは「枝の向きは格子が決める。ただし乱数を薄めないと偶然の腕に隠れる」。4近傍（正方格子）なら乱数を薄めて A₄=0.705（床の3.3倍）・腕の向き0.4°で、格子の軸にそろう。
では並進対称性がない格子ではどうなるか。準結晶には「結晶には作れない対称」がある。アンマン–ビーンカーは8回対称で辺の向きが45°刻みの8方向、ペンローズ P3は10回対称で36°刻みの10方向を持つ。枝はその8方向／10方向を選ぶのか、それとも向きを持たないのか。
作り方は素直にした。親のタイリングの頂点を格子として使う（辺の長さが全部等しいので、頂点のあいだを1歩とする歩き方が自然に決まる）。アンマン–ビーンカーは頂点74,891個・辺の向きは 0° から 315° まで 45° 刻みの8方向、ペンローズは頂点21,106個・18° から 342° まで 36° 刻みの10方向になる。どちらも辺の長さは1種類だけ、と機械で確認してから使う。
8回対称は立った。しかも向きまで合っている
測り方は親と同じ: 外側1/4の粒子の角度から ck=Σeikθ/N を出し、種32本で複素平均（偶然の腕は位相がばらけて消える）。床は同じデータをわざとランダムに回してから平均した値である。
| 格子 | 乱数の薄め方 | 本命の成分 | 位相をそろえた値 / 床 | 腕の向き |
|---|---|---|---|---|
| アンマン–ビーンカー（8回） | 3回で凍る | A₈ | 0.090 / 0.038＝2.4倍 | −0.1° |
| アンマン–ビーンカー（8回） | 6回で凍る | A₈ | 0.108 / 0.043＝2.5倍 | −2.2° |
| アンマン–ビーンカー（8回） | 10回で凍る | A₈ | 0.085 / 0.039＝2.2倍 | −0.6° |
| ペンローズ P3（10回） | 3回で凍る | A₁₀ | 0.024 / 0.038＝0.6倍 | — |
| ペンローズ P3（10回） | 6回で凍る | A₁₀ | 0.055 / 0.032＝1.7倍 | — |
| ペンローズ P3（10回） | 10回で凍る | A₁₀ | 0.006 / 0.035＝0.2倍 | — |
アンマン–ビーンカーでは8回対称が立つ。3通りの薄め方で値は床の2.2〜2.5倍になり、腕の向きは −2.2°〜−0.1°で、この格子の辺の向き（0°, 45° と続く8方向）とぴったり同じになる。大きさだけでなく向きが設定を変えても動かないことが、偶然でない証拠になる（偶然の腕なら向きはばらける）。
ペンローズ P3 では10回対称を検出できなかった。どの薄め方でも A₁₀ は床の0.2〜1.7倍にとどまる。探した範囲は、粒子1200・薄め方3通り・種32本である。
非周期の異方性は、周期格子よりずっと弱い
並べると差がはっきりする。正方格子 A₄ = 床の3.3倍（絶対値0.705）／アンマン–ビーンカー A₈ = 床の2.4倍（絶対値0.090）。同じ物差しで絶対値は8倍ちがう。向きはあるが、弱い。
なぜ8回は立って10回は立たないのか。ひとつの見方はアンマン–ビーンカーが正方形タイルを含むことだ。局所的には正方格子の断片が入っていて、そこには直線の「水路」がある。ペンローズ P3 は菱形2種だけで、同じ向きの辺が長く続く構造が弱い。ただしこれは解釈で、まだ測っていない（水路の長さの分布を測れば確かめられる）。
この作品は「立った」と「立たなかった」を1枚に並べている。否定のほうが条件を書きにくいので、探した範囲（格子の大きさ・粒子数・薄め方・種の数）と判定の基準（床の2倍）を必ず一緒に置いた。なお「床の2倍」は目安のふるいで、統計的な有意水準ではない。ペンローズで A₃ が2.4倍出た回もあるが、薄め方を変えると消えるので採らなかった。設定を変えても残るかが実質的な判定になっている。
どう作ったか
親のタイリング生成器（ammann.js / penrose.js）からタイルの辺を取り出し、頂点を座標で同一視してグラフにする。ペンローズでは、三角形の頂点 A・B・C のうち A と B、A と C を結ぶ辺だけが菱形の辺になる（B と C を結ぶ辺は対角線）ので、そこだけ拾う。歩く仕組みは異方性 DLA の「任意のグラフ版」をそのまま使い、格子を差し替えただけである。
上の表（種32本の平均と床）は、重い測定の原本 tools/explore/dla-anisotropy.js の記録である。アンマン–ビーンカーの頂点グラフは辺の長さが1種類で向きは45°刻みの8方向、ペンローズ P3 は辺の長さが1種類で向きは36°刻みの10方向になっていることを確かめてから使った。
出典
- 数理
- DLA は T. A. Witten & L. M. Sander, Phys. Rev. Lett. 47, 1400 (1981)。ノイズ低減 DLA は J. Nittmann & H. E. Stanley, Nature 321, 663 (1986)。アンマン–ビーンカーは R. Ammann / F. P. M. Beenker (1982)、ペンローズ P3 は R. Penrose (1974)。準結晶格子上の成長そのものは当ギャラリーの実験（この組み合わせの文献調査は未実施）
- 生成
- generators/dla-quasi.js（タイリングの辺から頂点グラフを作る・辺長と辺の向きの検算・グラフ上の DLA・腕のスペクトルと「わざと回した床」。歩く部分は generators/dla-lattice.js を共有）