ドラゴン曲線

なにか

細長い紙テープを、同じ向きに半分・半分・半分と折る。開いて折り目を全部きっちり直角にすると、紙は自分でこの形になる。折り目の山と谷の並びは自分で決めていないのに、何度やっても同じ列が出る。これを紙折り数列と呼ぶ。4回折れば折り目は 2⁴−1 = 15本で、並びは必ず 110110011100100（1＝山）になる。

この紙を「1歩進んで折り目のとおりに直角へ曲がる道」として読むと、上の図になる。線なのに面積を持ち（隙間なく詰まっていく）、自分自身を触るけれど横切らない。折るという身近な操作ひとつに、これだけの構造が入っていた。

同じ列に、独立な2つの道

①物理の道。もう一度折ると、列は「前の列 ＋ 山 ＋ 前の列を裏返して山谷を入れ替えたもの」になる。紙を開く動作そのままの再帰である。

②数論の道。k 番目の折り目だけを直接答えられる。k を 2 で割れるだけ割って残った奇数を m とすると、m mod 4 が 1 なら山、3 なら谷。折り紙のことは何も出てこない。

この2つが n=16（折り目 65535 本）まで1つも違わずに一致する。紙の物理と 2 進法の割り算が、同じ列を別々の理由で書いていた。

後半は前半の写し（整数座標で厳密に）

歩いた点の座標は全部整数になる（1歩ずつ直角に曲がるので格子から外れない）。だから自己相似を丸め誤差なしで確かめられる。レベル n の点集合は、レベル n−1 の点集合と、それを「n−1 の終点」まわりに −90° 回した写しの和になる。n=6〜16 まで集合として完全に一致した（n=16 なら 36982 点）。上の図の塗り分けは、この式をそのまま描いたものである。

終点も閉じた式で出る。1歩を複素数で見ると、全体は (1+i)ⁿ になる。だから終点までの距離はちょうど (√2)ⁿ で、向きは 45°×n である。折るごとに √2 倍に伸びて 45° 回ることが、座標の整数演算で確かめられる。

回転を +90° にすると、和集合の点の個数だけはぴったり一致する（190＝190）が、中身は違う。個数が合っても正しいとは限らず、集合の中身を1点ずつ突き合わせると、回す向きは −90° だと分かる。

触るけれど、横切らない

レベル14 の道は 16384 本の辺を通るが、同じ辺を二度通ることは一度もない（16384本すべて別）。いっぽう頂点は 16385 回訪れるが、別々の点は 9658 個しかない。6727 回は、前に通った点にまた触っている。触れても渡らないこの詰まり方が「線のまま面積を持つ」ことの中身で、同じ紙を4枚（90°ずつ回して）並べると平面が隙間なく埋まる性質につながる。

自分で動かす

下の絵は、あらかじめ描いた絵の切り替えではなく、ページを開いたその場で上の図と同じ計算をしている。開く角を 0° から 90° へ動かすと、折りたたんだ紙が実際に開いていく。

どう作ったか

折り目の列は「折る再帰」と「mod 4 の式」の両方で作って突き合わせた。2つの道は n=1〜16 で完全に一致し、折り目の数は 2ⁿ−1、辺の数は 2ⁿ になる。曲線は、列のとおりに整数格子を歩くだけで描ける。三角関数を使わないので、座標に誤差は入らない。上の動く図で開く角を動かすと紙が開いていくが、整数格子と突き合わせられるのは θ=90° のときだけである。角度で歩くと三角関数の誤差が 10⁻¹⁴ ほど積もるのに対し、整数で作れば誤差は入らない。

→ ミウラ折り（同じ「紙を折る」から出る、こちらは規則正しい方）

→ 対数螺旋（自己相似のもうひとつの顔＝縮んで回っても自分）

→ ペンローズ P3（置換で自己相似を作る＝同じ発想でタイルを増やす）

出典

数理

紙折り数列（regular paperfolding sequence, OEIS A014577）。Heighway dragon は John Heighway (1966) の発見で、Martin Gardner が Scientific American (1967) で紹介。閉じた式（m mod 4）は同数列の標準的な表示

生成

generators/dragon.js（折る再帰と mod 4 の式の2実装・整数格子のタートル・自己相似の集合一致判定・短冊図と曲線図。依存ゼロ・乱数ゼロ）。ドラゴン曲線の計算は gallery/assets/dragon-live.js にまとめ、上の図と動く図の両方がこれを使っている