対数螺旋 — 貝が家を建て増す方法

オウムガイの殻の断面。対数螺旋に沿って小部屋が並び、最後に大きな住房が開く — オウムガイの殻の断面の模式。r=ae^{bθ}、1周で3倍（実物のオウムガイとほぼ同じ成長率）。小部屋は成長の記録で、生体は最後の広い部屋に住む

なにか

貝は家を建て替えられない。体が大きくなっても引っ越せないから、入口に建て増しを続けるしかない。そのとき「今の家と同じ形のまま大きくしたい」という一点だけを要求すると、答えは対数螺旋 r=ae^{bθ} ただひとつに決まる。この曲線の本質は「回して見ても、拡大して見ても、同じ曲線」——回転と拡大が同じ操作になる、連続の自己相似だ。オウムガイの殻、台風の雲、銀河の腕、ロマネスコの突起の並びがみな同じ曲線なのは、どれも「今ある形を保ったままスケールだけ変わる成長」だから。

もうひとつの顔が等角性。曲線上のどこでも、中心から引いた線と進行方向のなす角が同じ（この実装では80.1°）。ハヤブサが獲物めがけて螺旋を描いて降りるのは、目を動かさずに獲物を視界の同じ角度に保って飛ぶと、軌道が自動的に対数螺旋になるからだ。

★自分で動かす

下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/logspiral-live.js を、記事の中で呼んでいる。回す角を動かすと、茜色の弧がいつも元の螺旋の上に乗る——「回転＝拡大」はこれを見ることそのもの。

1周あたりの倍率 = 3.00 倍

オウムガイの実測は約3倍。1 に近づけるほど円へ、大きくするほど開いた渦へ。

回す角 α = 0.90 rad

藍の弧を α 回して e^{bα} 倍にしたものが茜の弧。拡大率はこちらで選べない——角度が決まれば倍率も決まる。

成長率 b: —
等角（閉じた式）: —
等角（実測のばらつき）: —
回転＝拡大のずれ: —

スライダーで決めた成長率の対数螺旋と、回して拡大した弧が元の螺旋に重なる図

倍率を 1 に近づけていくと等角は 90°（＝円）に近づく。円は「回しても大きさが変わらない」対数螺旋の端っこで、そこだけ拡大と回転が切り離せる。フィロタキシスやヒマワリの螺旋は点の並びが作る見かけの螺旋で、こちらは曲線そのもの。

どう作ったか

成長率はオウムガイの実測に合わせて1周3倍（b=ln3/2π）。機械検査は7件: 回転＝拡大の厳密一致（誤差10⁻¹⁵）・等角性が全点で一定・曲率半径が動径に比例（比例定数√(1+b²)）・1周ちょうど3倍・記事のドラッグ版を偽DOMの上で実際に走らせる7項目（★回す角を41通り動かしても回転＝拡大が成り立つ／倍率を1へ近づけると等角が90°＝円へ）・出荷SVGとドラッグ版が同じ1本のコードを共有していること・SVG実物。ドラッグ版の検査の実体は tools/logspiral-live-test.js。隔壁と住房の描き分けは模式で、殻の螺旋そのものが数理の主役。

→ フィロタキシス（同じ「螺旋」でも出どころが違う＝とびとびの回転）

→ 見取り図（この作品で「自己相似の3つの顔」が揃った）

出典

数理: 対数螺旋（equiangular spiral）: J. Bernoulli が "eadem mutata resurgo"（形を変えて甦る）と墓碑に刻んだ古典。貝殻の成長モデルは D'Arcy Thompson, "On Growth and Form" (1917) ほか
生成: generators/logspiral.js（1周3倍・3.75周・隔壁は模式）対数螺旋の数理は gallery/assets/logspiral-live.js に置き、出荷SVGの生成器と記事のドラッグ版が同じ1本を共有している