かけ算第20号｜太鼓の節線 × 非周期タイリング — 非周期の太鼓は、同じ音を2つ持てるか
この作品の問い
太鼓の節線の主役は縮退だった。正方形の膜では λ/π² = m²+n² が 2 通りに書けることがあり、そのとき2つのモードの重ね合わせがすべて同じ音のままなので、1つの音から連続無限の模様が作れる。砂をまくたびに違う図が出るのに、耳には同じ音が聞こえる。
縮退は対称性が作る。では、対称性を持たない非周期タイリングの輪郭を縁にした太鼓では、その主役は死ぬのか。
★先に、はっきりさせておかなければならないことがある。ヘルムホルツ方程式 −Δu = λu が見ているのは領域 Ω だけで、その中にどんなタイルが敷いてあるかは音にいっさい効かない。だから「非周期タイリングの太鼓」という問いが意味を持つのは、縁の形をタイリングが決めているときだけである。この作品では Hat タイルのパッチの外周のギザギザを縁として使う。
対称性だけを変える
「非周期だから縮退しない」のか「対称性がないから縮退しない」のかを分けるには、タイリングを変えずに対称性だけを足すのがいちばん早い。同じ Hat のパッチから4つの領域を作った。
- 素のまま——パッチの輪郭そのまま。対称性なし
- 鏡映を足す——左右を鏡に映して重ねる（D₁）
- 180°回転を足す——半回転を重ねる（C₂）
- 90°回転を足す——4回回転を重ねる（C₄）
⚠️ 足す対称性がこの3つなのには理由がある。計算は正方格子の上でやるので、正方格子が厳密に持てる対称性でないと、対称にしたはずの領域が計算の上では対称でなくなる。鏡映は格子点 (i,j) を (N−i,j) に、90°回転は (N−j,i) に——どちらも整数のまま移る。3回回転や5回回転は正方格子には置けない。
結果は図のとおりで、90°回転を足したときだけ隣り合う音の隙間が 10⁻¹⁴ に落ちた。
| 領域 | 足した対称性 | 隣り合う音の最小の隙間 | 縮退 |
|---|---|---|---|
| 素のまま | なし | 4.9×10⁻³ | なし |
| 鏡映を足す | D₁ | 8.3×10⁻² | なし |
| 180°回転を足す | C₂ | 9.4×10⁻² | なし |
| 90°回転を足す | C₄ | 2.9×10⁻¹⁴ | 2組 |
★答え——非周期かどうかは、関係がなかった
4つとも同じ非周期タイリングから作った領域である。それでも縮退が出たのは1つだけだった。つまり「非周期だから同じ音を2つ持てない」のではない。
そして「対称性があれば縮退する」でもない。鏡映も 180°回転も、立派な対称性である。それでも縮退しなかった。それどころか、対称性を足したほうが隙間はむしろ広がった（4.9×10⁻³ → 8×10⁻²）。
★効いているのは、対称性の群が「2次元の既約表現」を持つかどうかだった。縮退とは「同じ固有値の固有関数が2本以上ある」ことで、そのとき対称の操作はその2本の張る平面を回す——つまり2次元の表現が要る。鏡映（Z₂）も 180°回転（Z₂）も可換な群で、可換群の既約表現はすべて1次元である。だから縮退を作れない。C₄ は可換だが実数の上では2次元の表現を持つ（90°回転が実の固有ベクトルを持たない）ので、対を作れる。「回転があるか」ですらなく、「半回転より細かい回転があるか」だった。⚠️ 群論の定理そのものは伝聞で、ここで確かめたのは「実際に解いて縮退が出るか出ないか」である。
主役はそのまま戻ってくる
縮退が戻れば、主役も戻る。混ぜ方 t を連続に変えると、模様は連続に変形し続けるのに、音はまったく動かない。1つの音から連続無限の模様——正方形の膜でやったのと同じことが、ギザギザの非周期の縁の上でも成り立つ。
面積は聞こえる（Weyl の法則）
音の数え方 N(λ) ≈ (面積/4π)λ − (周長/4π)√λ は、領域の形によらない。低いほうから 30 個の固有値に 2 項を当てはめると、面積の係数は 1〜5% で合った（素のまま 0.989・90°回転 0.951・正方形 0.994）。
いっぽう周長のほうは 30 個では読み切れない（正方形で当てはめた周長は 2.85 で、真の 4 に届かない）。太鼓の節線では Λ = 10⁴ まで数えて 0.00% の一致を出していた——2項目は、ずっとたくさん数えないと出てこない。
★自分で動かす
下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/drumtile-live.js を、記事の中で呼んでいる。混ぜ方 t を動かして、音の数字が動くかどうかを見てほしい。90°回転を足した領域でだけ、音が止まる。
- 音（レイリー商）
- —
- 隣との隙間
- —
- 節領域（部屋）の数
- —
- 低いほうから6つの音
- —
- 縮退した対
- —
選んだ対称性の領域で解いた振動モードを、符号で塗り分けた図（2色の境目が節線）
⚠️ ここで動かしている「混ぜ方」は、縮退しているときだけ意味がある操作である。縮退していない2つを混ぜると、それはもう固有関数ではないので音が動く——その様子も、そのまま数字に出るようにしてある。領域の元になっている Hat のパッチのマス目は出荷時に焼き込んだもので、生成器が作るマス目と1ビットも違わないことを検査に置いてある。
どう作ったか
領域を格子のマス目に落とし、5点ラプラシアンで −Δ を組んで、低いほうから固有値と固有関数を求める。道具の作り方に3つ、外せない注意があった——どれも実際に踏んだ。
- ⚠️単一ベクトルの Lanczos 法は、縮退の2本目を見つけられない。不変部分空間ごとに1本しか出ないので、正方形で解くと (1,2) と (2,1) が1個にしか見えない。縮退そのものを測りたいのだから、これは致命的である。ブロック（複数の出発ベクトル）で張る
- ⚠️cI − A のクリロフ空間では収束しない。上端の固有値どうしの相対的な隔たりが 0.06% しかないためで、実際に λ₁ が 19.74 のところ 25.79 と出た。A⁻¹ を共役勾配法で作って、そのクリロフ空間で張る
- ⚠️対称化はマス目の上でやる。連続の座標で回すと三角関数の丸めが入り、対称にしたはずの領域が格子の上で厳密に対称でなくなる。最初は 3回回転で試して、隙間が縮まずに悩んだ
正方形で答え合わせをすると、離散の厳密解 (4/h²)(sin²(mπh/2) + sin²(nπh/2)) と 10⁻⁸ で一致し、縮退した対もちゃんと2本ずつ出る。
★測りたいものが、測れる精度より6桁よい。固有値そのものは反復の打ち切りで 10⁻⁸ ほどずれるし、縁を格子の階段で近似しているぶん 1/N の誤差もある。それでも縮退した対の「隙間」は 10⁻¹⁴ で出る——隙間がゼロであることは行列そのものの対称性が保証していて、解の精度とは別の話だからである。差を測るときは、絶対値の精度に足を引っぱられないことがある。
機械検査は19件: ①正方形で離散の厳密解と一致 ②★縮退が2本ずつ出る ③⚠️出発ベクトルを1本にすると縮退が1個も出ない（最初に踏んだ罠をそのまま検査に） ④★対の隙間は固有値そのものの誤差より6桁よい ⑤共役勾配法が解けている ⑥対称化がマス目の上で厳密 ⑦★90°回転を足すと縮退（10⁻¹⁴） ⑧★素のまま・鏡映・180°では縮退しない ⑨★対称性を足したのに隙間はむしろ広がる ⑩ペンローズを縁にしても同じ結論＝どのタイリングかによらない ⑪★縮退した対を混ぜても音が動かない ⑫対照＝縮退していない対を混ぜると 10¹²倍動く ⑬Weyl の法則で面積の係数が3.2%で合う ⑭節領域がクーラントの並び ⑮マス目の16進が往復 ⑯記事のドラッグ版を偽DOMで実際に走らせる10項目 ⑰出荷SVGとドラッグ版が同じ1本を共有 ⑱出荷SVG2枚。ドラッグ版の検査の実体は tools/drumtile-live-test.js。
出典
- 数理
- ヘルムホルツ方程式の固有値の縮退が対称群の2次元既約表現から出ること、可換群の既約表現がすべて1次元であることは群論の標準的な結果（⚠️伝聞——ここで確かめたのは「実際に解いて縮退が出るか出ないか」だけ）。Weyl の法則（H. Weyl 1911）。Hat タイルは D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, C. Goodman-Strauss (2023)
- 生成
- generators/drumtile.js（タイリングの多角形の和集合から領域のマス目を作る・マス目の上での対称化・図2枚。依存ゼロ・乱数は固有値ソルバの出発ベクトルだけ＝種を決めれば答えも決まる）固有値ソルバ（5点ラプラシアン・共役勾配法・ブロック・クリロフ部分空間・Jacobi 回転・節領域の数え・重ね合わせ）は gallery/assets/drumtile-live.js に置き、出荷SVGの生成器と記事のドラッグ版が同じ1本を共有している