双曲ボロノイ

なにか

見取り図の発見2は「平面をどう分割しても、隣接数の平均は6に近づく」だった。では平面でなかったら？ レタスの縁やサンゴのように波打つ負曲率の面にキリンの網目を描いたら、平均は6のままなのか。答えは否である。ガウス・ボネの定理から、曲率−1の世界では平均隣接数 = 6 + 3×(平均セル面積)/π と正確に書き換わる。セルが大きいほど、部屋は多角形になる。

うれしい検算がひとつある。双曲タイリング {7,3}（第17作）は七角形の面積がちょうど π/3 なので、6 + 3·(π/3)/π = 7 になる。七角形が3枚ずつ、という既知の事実がこの式から厳密に出てくる。本作で数えた平均隣接数も 6.58 で、理論値 6.60 との差は 0.02 だった。

どう作ったか

鍵になるのは Klein 円板模型である。この模型では測地線が直線になるだけでなく、2点の双曲二等分線も直線になる（双曲面模型で ⟨X, P−Q⟩=0 が座標に線形だから）。つまりユークリッドのボロノイと同じ「半平面で削る」だけで双曲ボロノイが作れる。描画は等角なポアンカレ円板に写し直した。全セルの面積は正で有限で、母点はどれも自分のセルの中にある。対照実験として母点を 1/12 に縮めて曲率を実質消すと、平均は6に戻る。

→ ボロノイ図（平坦な片親）

→ 双曲タイリング {7,3}（もう片方の親・検算の出どころ）

→ 見取り図（発見9「平均6は平坦の特権」）

母点くらべ。{7,3} が返ってくる

母点を替えて定理の顔ぶれを見た。①{7,3} の中心: ボロノイが元の七角形タイリングを厳密に再現する（辺数7・面積π/3）。第17作から中心を取り出し、第34作に食わせると第17作が返ってくる。かけ算の環がひとつ閉じた。②擬似乱数の母点（双曲面積で一様・種固定）: 黄金角のときと同じく平均隣接数 6.54 ≈ 6+3a/π = 6.55。定理は母点の置き方に依らない。

出典

数理

ガウス・ボネの定理（測地多角形の面積 = (k−2)π − 内角和）。Klein 模型で双曲ボロノイが線形になることは Nielsen & Nock (2010) が整理。組み合わせは本ギャラリーのかけ算第7号

生成

generators/hypvoronoi.js（母点600・双曲半径4.8・依存ゼロ）