カルマン渦列

なにか

流れの中に棒を立てると、後ろに渦が互い違いに並んで流れていく。川の橋脚の下流、風の強い日の電線、衛星写真に写る島の風下の雲。どれも同じ形の列で、周期的に渦がはがれるから旗ははためき、電線は音を立てる。

ここでは渦を理想化した点渦（強さ Γ の点）にして、上の列に +Γ、下の列に −Γ を等間隔 a で置く。列の間隔を h として、この並びがいつまで保つかを測る。周期 L で並ぶ点渦の列が作る速度場は、1/(z−na) の和がコタンジェントに畳まれて u − iv = −iΓ/(2L)·cot(π(z−z₀)/L) と閉じた形になる。打ち切り和と突き合わせてから、この核だけで全部を組み立てた。

まず分かるのは、千鳥の列が形を変えずに進むことである。どの渦も同じ速度を持ち（ばらつき 10⁻¹⁵）、その速さはコタンジェントの値そのもので U = (Γ/2a)·tanh(πh/a) になる。向かい合わせ（互い違いでない）の列も同じく剛体で進み、こちらは coth に変わる。

中立なのはただ一点

列に微小な乱れを入れて、どれだけの速さで育つかを測った。乱れを波数 θ の波で入れると、平行移動の対称性のおかげで周期 M の列が θ ごとの 4×4 の系に割れる。その固有値の最大実部が成長率である。答え合わせに、何も共有しない第 2 経路として速度場の数値ヤコビアン（中心差分）を作り、線形系を長時間積分して同じ量を測った。2 つの経路は 0.2% 以内で一致する。

千鳥の列の成長率は h/a = 0.28055 のただ一点で 0 に触れ、その両側では正である。谷を三分探索で詰めると h*/a = 0.2805499 が出て、sinh(π h*/a) を計算するとちょうど 1 になる（8 桁）。つまり h*/a = ln(1+√2)/π。この閉じた形は測った値から言い当てたもので、歴史的にはカルマンが 1911 年に出した値だと聞く。

中立点でも「安定」ではない。成長率が 0 というだけで、押し返す力はない。それでも他のどの並びよりも長く形を保つから、棒の後ろには毎回この形の列が残って見える。

相手の列を消しても、壊れる速さは変わらない

向かい合わせの列はどうか。間隔 h をどう変えても、成長率は π/4·Γ/a² のまま動かない（h/a = 0.1 から 1.0 まで振ってずれ 10⁻⁷）。しかもこの値は、相手の列を消して 1 列だけにしたときの成長率と同じである。1 列の場合は手で閉じた形まで出る。いちばん危ない乱れは θ = π（1 本おきに互い違いへずれる波）で、そこに出てくる和 Σ 1/sin²(πd/M)（d は奇数）が M²/4 にちょうど畳まれるので、成長率は π/4·Γ/a² になる。

つまり乱れを育てているのは、列と列の関係ではなく 1 本の列の中の隣どうしである。隣り合う渦が対を作って巻き込み合う、それだけで列は壊れる。向かい合わせに置いた相手の列は、この成長をまったく抑えられない（成長率が 1 列だけのときと厳密に同じ値になる）。千鳥だけが、互い違いのずれのおかげで列どうしの干渉が列の中の成長を打ち消せて、それも h* の一点だけで釣り合う。

実際に流すとそのとおりに壊れる。10⁻⁶ の乱れから始めて、h/a = 0.22 の千鳥は t = 60 で列が崩れて渦が対を作り、h* の千鳥は同じ時間で形を保ったままだった。時間発展はルンゲ・クッタで、保存量（点渦のハミルトニアン）のずれは 10⁻¹¹ 以下に収まっている。

→ 太鼓の節線（対称性が固有値を縮退させる話）

→ 砂丘の風紋（乱れの中から特定の波長が選ばれる親戚）

どう作ったか

generators/karman.js。依存ゼロの複素数計算・周期核・ブロッホ分解（4×4 の固有値は特性多項式を Durand–Kerner で解く）・数値ヤコビアン経路・ルンゲ・クッタの時間発展・流れ関数の等値線（マーチングスクエア）を順に書いた。カードの図は列と一緒に動く座標系の流線で、ψ − U·y の等値線である。

この号で自分の不具合をひとつ踏んだ。1 列だけの成長率を 2×2 の固有値で出すとき、絶対値に平方根を二度かけて 0.886 と出し、数値ヤコビアン経路の 0.785 と食い違って発覚した。直すと 2 つの経路は π/4 の上で一致した。閉じた形と数値が食い違ったとき、疑う順番は「数値・自分の式・記憶の文献値」のどれでもなく、両方を出し直すことだと改めて思う。

機械検査は 18 件。周期核と打ち切り和の一致、列が剛体で進むこと、U = (Γ/2a)tanh(πh/a)（千鳥）と coth（向かい合わせ）、θ = 0 の並進モードが成長率 0、成長率の 2 経路（ブロッホと数値ヤコビアン）の一致、中立点の谷が M を倍にしても動かないこと、sinh(π h*/a) = 1、中立点の両側で正の成長率、向かい合わせの列が h によらず π/4 で 1 列だけの値と一致、Σ 奇数 csc² = M²/4 の恒等式、θ = π が最初に伸びる波であること、流れ関数の勾配が速度場と一致、時間発展で保存量が保たれること、非線形の成長率が線形の値と合うこと、出荷 SVG 2 枚。

出典

数理

Th. von Kármán (1911) の渦列の安定性（伝聞）。h*/a = ln(1+√2)/π が彼の値だということも伝聞で、ここでは自分の測定から sinh(π h*/a) = 1 を言い当てる形で確かめた。周期核・並進速度・ブロッホ分解・1 列の π/4 は cot の核から自分で組み立てた

身近

橋脚の下流の渦・風の日の電線の唸り・旗のはためき・島の風下に並ぶ雲の渦（衛星写真・伝聞）

親戚

太鼓の節線・泡の法則・砂丘の風紋・川の分岐

生成

generators/karman.js（karman.svg 流線・karman-book.svg 成長率の帳簿）