ロザンジュ・タイリング — 積み木の錯視を乱数で積むと、真ん中に円が浮く
なにか
菱形（角 60°/120°）を 3 つの向きで並べると、立方体が積み上がって見える。キルトの「tumbling blocks」、床タイル、エッシャーの階段——古い錯視の模様である。数学ではこれを六角形のロザンジュ・タイリングと呼び、見え方が錯視ではなく厳密な対応だと分かっている: 辺 a, b, c の六角形の埋め方は、a×b×c の箱に立方体を崩れないように積んだ形（平面分割）と 1 対 1 に対応する。上面が 1 種、左面が 1 種、右面が 1 種の菱形である。
だからこの模様には帳簿がつく。何枚ずつあるか、何通りあるか、そして乱数で積むと何が起きるか。
枚数は並べ方によらない、総数は積の式に乗る
立方体を 1 個足す（または取る）と、上面・左面・右面が 1 枚ずつ入れ替わるだけ。だからどんな並べ方でも 3 種の枚数は ab・bc・ca 枚で、正六角形（a = b = c = n）なら各 n² 枚——空箱でも満杯でも乱数でも同じであることを機械で確かめた。並べ方の総数は MacMahon の積 ∏(i+j+k−1)/(i+j+k−2)——小さい箱を全部列挙して、1×1×1 の 2 通りから 4×4×4 の 232,848 通りまで 7 箱で一致した。
乱数で積むと、角が凍って円が浮く
「立方体を 1 個足す／取る」を等確率で提案し、崩れなければ受け入れる連鎖を回すと、並べ方は一様乱数に近づく（提案が対称なので一様分布が定常）。すると六角形の 6 つの角は 1 種の菱形に凍り、混ざるのは真ん中の内接円の中だけになる——アークティック・サークル（Cohn–Larsen–Propp, 1998）。凍結を「距離 1.6 以内の近所が全部同じ種」と決めて測ると、n=40 で内接円の外の凍結 94.5%・内の凍結 3.6%、凍結の割合が 1/2 を横切る半径は内接円の 0.997 倍。n を 16 → 28 → 40 と振ると、その半径は 1.017 → 1.011 → 0.997 と円へ寄り、立ち上がりは急になる。
★混ざったかどうかの物差しを持っている。一様分布は補集合（積んだ立方体と空いた隙間を入れ替える）で対称なので、充填率は 1/2 に来なければならない。400·n³ 歩で 0.503（n=40）。⚠️ 最初は 100·n³ 歩で回していて、充填率 0.36 のまま内接円の中まで凍って見えた——混ざり切らない連鎖は「円より広い凍結」という嘘をつく。これも検査に固定した。
⚠️ MacMahon の式とアークティック・サークルの定理は伝聞。確かめたのは列挙との一致（7 箱）と、測った凍結の割合だけ。凍結の判定は近所の半径の取り方で境の位置が少し動く。
どう作ったか
generators/lozenge.js。列の高さの配列（平面分割）を持ち、見えている面を菱形に起こす（箱の奥の 2 つの壁も段差として数える——最初これを落として枚数が合わなかった）。機械検査は 9 件: 列挙 = MacMahon（7 箱）、★枚数の定理（2 箱×3 状態・崩れない）、菱形が全部辺 1 で面積の和が六角形、充填率が 1/2（400·n³）、⚠️ 100·n³ では 0.36 で円の中まで凍る、★内接円の外 94.5%・内 3.6%・1/2 の半径 0.997、n=16/28/40 でずれが縮む、出荷SVG 2 枚。
出典
- 数理
- P. A. MacMahon, "Combinatory Analysis" vol. 2 (1916)／H. Cohn, M. Larsen, J. Propp, "The shape of a typical boxed plane partition", New York J. Math. 4 (1998)。⚠️ どちらも伝聞で、確かめたのは列挙と測定だけ
- 身近
- キルトの tumbling blocks・床タイルの「積み木」模様
- 親戚
- ボロノイ・トゥルシェ（乱数の模様の帳簿）・ハニカム（六角形）
- 生成
- generators/lozenge.js（lozenge.svg n=24 の一様乱数・lozenge-book.svg 帳簿）