トゥルシェ・タイル — 乱数で回すだけで、迷路が織れる
なにか
1704 年、ドミニコ会の司祭セバスチャン・トゥルシェは、対角線で 2 色に塗った正方形タイルの並べ方を体系的に数え上げた。1987 年、冶金学者シリル・スミスがそのタイルを「四分円 2 本」に置き換えると、隣のタイルとの境で曲線が必ずつながるので、乱数で回すだけで迷路のような 1 本の曲線の模様が生まれる。壁紙・布・床タイルの定番で、ボロノイと並んで「規則 1 行で無限に模様が出る」型の代表である。
このギャラリーの興味は、その乱数の模様に帳簿がつけられるかにある。曲線は何本あるか、どれだけ長いか、その糸は線なのか面なのか。
輪しかできない——そして必ず 2 色で塗れる
四分円は辺の中点で終わるので、どの中点にも弧がちょうど 2 本ずつ集まる。だから曲線は閉じた輪か、縁から縁への道のどちらかしかない（縁をつないだトーラスなら全部が輪）。輪の数を、弧を頂点にした union-find と、中点から中点へ実際に歩く 2 つの経路で数えて一致させた。答えが分かっている盤でも確かめた——全部同じ向きなら斜めの波が N 本（弧 2N 本ずつ）、市松なら弧 4 本の小さな輪が N²/2 個。
塗り分けも規則から出る。各タイルは弧で 3 つの区画に分かれる（切り取られる角の帽子 2 つと、あいだの帯）。切り取られる 2 つの角は必ず対角なので、格子座標の偶奇が同じ。帽子をその偶奇の色、帯をその反対の色にすると、どのタイルでも辻褄が合い、隣とも合う。弧 16,000 本で両側の色が違うことを機械で確かめた（外れ 0）。トゥルシェの元の「対角線で 2 色」の塗りが、曲線に置き換えても生き残っている。
輪の帳簿——数は一定、大きさに典型はない、糸はフラクタル
乱数の盤（縁をつないだトーラス・N=64, 128, 256・種を 3〜5 通り）で測った。輪の数は 100 セルあたり約 10 本で N によらない。長さ ≥ L の輪の割合は両対数で直線（傾き −1.14〜−1.25）——輪に「典型的な大きさ」がない。そして輪の長さ ℓ と回転半径 R_g の関係は ℓ ∝ R_gD で D = 1.59 → 1.68 → 1.67（N=64 → 128 → 256・ℓ ≥ 16 の輪）。線（1）でも面（2）でもない。乱数 1 つで無限の布が織れて、その糸はフラクタルである。
⚠️ 向きを確率 1/2 で選んだトゥルシェの輪は、対角格子の臨界パーコレーション（p = 1/2）のクラスターの外周（hull）と同じもので、その次元は 7/4 = 1.75——だと思うが伝聞で、自分で確かめてはいない。測った D は N とともに上がるが 1.75 には届いておらず（届いていないことを検査に固定）、小さい輪の補正が残っている。当てはめの下限を ℓ ≥ 64 にすると N=128/256 で 1.69/1.68。⚠️ 最大の輪の割合（46% → 45% → 39%）は N で動く——有限の盤では N より大きい輪は入らない。
どう作ったか
generators/truchet.js。盤は決定的な乱数（mulberry32）で、トーラス／平面の両方を持つ。機械検査は 11 件: 全部同じ向きで N 本×2N・市松で N²/2 個×4、乱数の盤 5 通りで中点の次数 2・union-find と歩きの一致・弧 3200 本が全部輪・長さが全部偶数、平面では輪と道しかない、★2 色塗りが弧 16,000 本で両側違う、輪の密度が N によらない、長さの割合が両対数で直線、D が 1 と 2 の間で 128→256 で 0.03 以内、⚠️ D が 7/4 に届いていないこと、出荷SVG 2 枚。
出典
- 数理
- S. Truchet, "Mémoire sur les combinaisons", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences (1704)／C. S. Smith, "The tiling patterns of Sebastien Truchet and the topology of structural hierarchy", Leonardo 20 (1987)。⚠️ 「輪＝臨界パーコレーションの hull・次元 7/4」は伝聞（H. Saleur & B. Duplantier 1987 あたりのはずだが未読）
- 親戚
- ボロノイ・乾燥亀裂（規則 1 行で模様）・DLA（フラクタルの糸）・Wang タイル（辺の合わせ方で決まる並べ方）
- 生成
- generators/truchet.js（truchet.svg 18×18 の 2 色・truchet-book.svg 帳簿）