ひねった蜂の巣 — マジックアングルの数理

なにか

かけ算第8号。モアレの「重ねてずらす」をハニカムにかけると、物性物理の最前線に着地する。2018年、炭素原子の蜂の巣シート（グラフェン）を2枚、約1.1°だけひねって重ねると超伝導が現れた——世に言うマジックアングル。電子はモアレ超格子（周期 a/(2sin(θ/2))・1.1°なら元の格子の52倍）を「新しい結晶」として感じ、その中で振る舞いを一変させる。網戸2枚のあの縞と、超伝導の舞台は、同じ1本の式で書ける。

角度には2種類ある。可換な角——格子ベクトル (1,2) を (2,1) へ写す回転（cosθ=13/14・θ=21.79°）では、2層の格子点がちょうど 1/7 の密度でぴったり一致し、√7倍周期の完全な超格子（結晶学の Σ7）ができる。可換でない角では一致点は原点ただ1つ——2層は二度と噛み合わず、全体は準周期になる。分数と無理数の対立（見取り図・発見7）が、ここでは「角度が有理点か」という形で現れる。

もう1枚 — 可換角 Σ7

どう作ったか

機械検査は6件: 可換角の回転を格子ベクトルから厳密構成（cosθ=13/14, |sinθ|=3√3/14・cos²+sin²=1 が誤差ゼロ）・一致点が 4900 点中ちょうど 700＝厳密に 1/7・最短一致ベクトルのノルム²=7＝周期√7倍・一致点集合が加法で閉じる（＝格子である）・対照実験: 可換でない17°では一致点が原点のみ・小角モアレの超格子周期の閉形式 |(R−I)⁻¹a₁| = a/(2sin(θ/2)) を描画と同じ3.5°で確認。

→ モアレ（親1: ずれの拡大鏡）

→ ハニカム（親2: 蜂の巣格子）

→ 見取り図の発見7（ずれた周期の重なりが新しい秩序を生む）

出典

数理

ツイスト2層格子の可換角（coincidence site lattice・Σ7）は結晶学の古典。マジックアングル超伝導は Y. Cao et al., Nature 556 (2018)。モアレ超格子周期の式は twisted bilayer graphene の標準結果

生成

generators/moire-honeycomb.js（格子定数15px・θ=3.5°／可換角版は46px・θ=21.79°）