木はどこまで高くなれるか — 太さの帳簿では、枝の形は決まらない

なにか

鉛筆を立てても倒れないが、同じ細さで 3 メートルの棒を作ったら自分の重さで折れる。長さと太さのあいだには、材料が何であっても効く比の縛りがある。1881 年に Greenhill が解いたその縛りは、驚くほど素っ気ない一行だ。

倒れない高さ ∝ 半径の 2/3 乗

指数が 1 でなく 2/3 なのが要点。半径を 100 倍にしても、立てられる高さは 22 倍にしかならない。生き物にとってこれは厳しい制約で、大きくなるほど、体は「相対的に」ずんぐりしなければならない。

臨界を独立2経路で出す

上端が自由・下端が固定された棒が自分の重さで座屈する条件は、たわみ y と、上端から測った位置 t の方程式 y⁗ + λ (y′ + t·y″) = 0（λ = w h³/(EI)）の最小の λ を求めることに落ちる。これをまったく別の2つの道で出して突き合わせた。

• 経路①　常微分方程式を直接解く（シューティング）。上端の条件から出発して4次のルンゲ–クッタで積分し、下端で傾きが 0 になる λ を二分探索で挟む
• 経路②　分数次のベッセル関数。この方程式の解は J_±1/3 で書けることが知られており、臨界は 9j²/4（j は J_−1/3 の最初の零点）。Γ 関数を Lanczos 近似で自前に用意して、零点も自分で求めた

結果は λ = 7.837347439 で、9桁一致した。刻みを 400 → 6400 に振っても経路①の値は動かない。

⚠️ここでまた記憶に足をすくわれた。「J_−1/3 の最初の零点は 1.8663895」と覚えていた数字を書いたら、経路①と5桁目で食い違った。自分で級数から零点を出し直すと 1.866350859 で、そちらなら 9 桁一致する。私の「文献値」のほうが 3.9×10⁻⁵ 間違っていた。太鼓の節線のベッセル関数でも同じことをやっている——記憶から出した数は、独立した経路にならない。

2/3 乗はどこから来るか

λ = w h³/(EI) に、半径 r の丸い棒の値（重さ w = ρgπr²、断面二次モーメント I = πr⁴/4）を入れると λ = 4ρg h³/(E r²) になる。これを h について解けば h ∝ r^(2/3)。図の藍の線がそれで、実際に半径を振って測った両対数の傾きは 0.666666667 だった。

面白いのは幾何相似との交差だ。形をそのまま拡大する（h ∝ r）と λ ∝ r になる——大きくすればするほど座屈に近づく。だからどんな生き物も、ある大きさから先は相似では育てられない。図で砂色の破線が藍の線を追い越すところが、その限界である。

★実在の木の目安を4つ置くと、どれも安全率 2.3〜2.8 に収まった（竹 2.30／街路樹 2.55／大木 2.44／セコイア級 2.82）。半径は 60 倍、高さは 12 倍ちがうのに、限界からの距離だけがそろっている——McMahon が「弾性相似」と呼んだ形である。⚠️ただし寸法はおおよその値で、実測と突き合わせたわけではない。また模型は一様な円柱で、先細り・枝・葉の重み・風は入れていない（先細りは限界を上げる方向に効く）。

★では、枝の角度は何が決めているのか

葉脈と血管では、分岐の開き角が「張力 r² を持つ3本の綱の引き合い」で決まることを見た。等しい張力なら 120°（泡の Plateau）、Murray 則で細るなら 74.9°。ではレオナルドの法則（木の断面積保存 r₀² = r₁² + r₂²）を入れるとどうなるか。

対称に分かれる場合は子の半径が r₁ = r₀·2^−1/n なので、余弦定理はきれいに畳まれて cos θ = 2^{(2/n − 1)} になる。n = 3 を入れると開き角 74.93°（血管の値）、n を大きくしていくと 120°（泡の値）に近づく。そして n = 2 では cos θ = 1——角度がゼロになる。

★木がいるのは、この曲線のいちばん端だった。張力 r₀²、r₁²、r₂² の三角形が閉じる条件は r₀² ≤ r₁² + r₂² で、レオナルドの法則はその等号そのものである。三角形は線分に潰れ、釣り合う分岐点が存在しない。二分探索でしきい値の指数を探すと ちょうど 2.000000000 が返る。つまり輸送の帳簿は、木の枝の角度を決められない。枝がどちらへ何度開くかは、水を運ぶ都合ではなく、支えることと光を取ることの都合で決まっているはずだ——この作品が座屈の話から始まっているのは、そのためである。

細り方の指数には、もうひとつ副作用がある。末端の総断面積は根元の 2^{k(1 − 2/n)} 倍になる（k は世代数）。n = 3 なら 6 世代で 4.00 倍——先へ行くほど流れが遅くなり、毛細血管や葉の隅でゆっくり交換ができる。n = 2 では厳密に 1 倍で、流速が落ちない。しかも n = 2 だけは左右に不均等に分けても総断面積が変わらない（他の n では分け方で変わる）。木が 2 を選んでいるのは、水を速いまま持ち上げるためだと読める。

★自分で動かす

下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/buckling-live.js を、記事の中で呼んでいる。細り方の指数を 2 に近づけていくと、枝が閉じて一直線になるのが見える。

どう作ったか

臨界は上に書いた2経路（4次ルンゲ–クッタのシューティング／自前の Γ と分数次ベッセルの零点）。分岐角は 葉脈と血管の余弦定理に指数 n を入れて畳んだ一行で、枝を実際に生やして世代ごとの Σrⁿ と末端の総断面積を数える経路と突き合わせる。機械検査は23件: ①Γ関数が既知の値に合う ②その Γ で作ったベッセルが J₀ の零点も当てる（道具の自己検証）③★臨界が独立2経路で 9 桁一致・⚠️記憶から書いた零点のほうが誤りだったことも固定・刻みを振っても動かない ④★指数が 2/3・半径2倍で 2^(2/3) 倍・逆算の整合 ⑤幾何相似では λ がちょうど比例＝必ず座屈に近づく ⑥⚠️目安の木4つが安全率 2.30〜2.82（寸法は伝聞）⑦★分岐角の族（n=3 で 74.93°・n→∞ で 120°・n=2 でちょうど潰れる・しきい値の二分探索が 2.000000000・n<2 では角度が定義されない・単調に開く）⑧Σrⁿ の保存と閉じた式の一致・★n=2 だけ左右の分け方に鈍感 ⑨記事のドラッグ版を偽DOMで実際に走らせる16項目 ⑩出荷SVGとドラッグ版が同じ1本を共有 ⑪出荷SVG2枚。ドラッグ版の検査の実体は tools/buckling-live-test.js。

→ 葉脈と血管（太さの帳簿。同じ余弦定理の n = 3 の点）

→ 泡の法則（同じ曲線の n → ∞ の行き先＝120°）

→ カテナリー（こちらは「吊る」帳簿。荷重の配り方が形を選ぶ）

出典

数理

A. G. Greenhill, "Determination of the greatest height consistent with stability that a vertical pole or mast can be made", Proc. Camb. Phil. Soc. 4 (1881) 65–73（自重座屈の臨界。解が J_±1/3 で書けること）。T. McMahon, "Size and shape in biology", Science 179 (1973) 1201–1204（弾性相似）。分岐角の余弦定理は M. Zamir (1978)、細り方は C. D. Murray (1926) とレオナルド・ダ・ヴィンチ『手稿』の観察。Γ 関数の Lanczos 係数は文献から引いた。⚠️ 実在の樹木の高さ・直径・分岐角の測定と突き合わせたわけではない——確かめたのは「模型から何が出るか」だけで、実物との比較は伝聞として書いている

生成

generators/buckling.js（自重座屈の常微分方程式とシューティング・自前の Γ と分数次ベッセル・臨界高さと安全率・分岐角の族としきい値の二分探索・枝を生やして断面積を数える・図2枚。依存ゼロ・乱数ゼロ）支える帳簿の数理は gallery/assets/buckling-live.js に置き、出荷SVGの生成器と記事のドラッグ版が同じ1本を共有している