葉脈と血管 — 細り方は3乗で決まっていて、分岐角は泡と同じ釣り合い

Murrayの法則で太さと分岐角を決めて描いた葉脈状の木。9世代1023本 — 太さも分岐角も式から出ている。分かれるたび径は **1/2^(1/3) = 0.7937 倍**、子どうしの開き角は **74.9°**。**壁の剪断応力は木のどこでも同じ**（幅 2×10⁻¹⁵）——血管の内壁が感じている量が、根元でも末端でも変わらない

なにか

葉の裏の葉脈、手の甲の血管、木の枝。太い管から細い管へ分かれるとき、径の比は決まっている: r₀³ = r₁³ + r₂³（Murray の法則）。対称に分かれるなら子は親の 0.7937 倍。

出どころは費用の最小化である。管が細いと流れの抵抗で損をし（ポアズイユの抵抗は r⁻⁴ で効く）、太いと中身を維持する費用で損をする（体積は r² で効く）。合計が最小になる半径を求めると r ∝ Q^(1/3)——流量の3乗根。分岐で流量が保存する（Q₀ = Q₁ + Q₂）ので、3乗の和が保存する形になる。

⚠️ ここで一度つまずいた。解析解の定数を (4μ/π²λ)^(1/6) と書いたら、数値で最小化した値と 2^(1/3) 倍ずれた。正しくは (16μ/λπ²)^(1/6) で、写し間違いだった。独立2経路（数値の最小化と手計算）を並べていたから拾えた——片方だけなら気づかずに通していた。

分岐角は、泡と同じ釣り合いだった

分岐角にも式がある: cos θ₁ = (r₀⁴ + r₁⁴ − r₂⁴)/(2r₀²r₁²)。この式の正体は「張力 r² を持つ3本の綱の引き合い」で、余弦定理そのものである。だから確かめ方が2つある: ①式に入れる ②分岐点の位置を動かして費用 Σr²L が最小になる場所を数値で探し、そこでの角度を測る。5通りの径の組で 3×10⁻⁶ 度以内で一致した。

★ここが今日の収穫。等径（r₀ = r₁ = r₂）を入れると、開き角はちょうど 120° になる。これは泡の法則の Plateau——等しい張力の膜3枚が 120° で出会う——と同じ釣り合いである。泡は張力が等しいので 120°、血管は張力が r² で重みづけられているので Murray 則で細ると 74.9° に開く。シャボン玉と血管が、重みの違うだけの同じ式で角度を決めていた（発見23）。ちなみに 74.9° は、実測の血管分岐が 70〜80° と言われることと符合する（ただし実測との突き合わせはしていない＝伝聞）。

3乗か2乗か——費用で決着する

Murray則とレオナルド則で細らせた木の比較と、1本の管の費用曲線 — 分岐角は揃えて**細り方だけ**を変えた対照実験。合計費用は Murray 47.80 に対しレオナルド（断面積保存 r₀² = r₁² + r₂²）は **257.02＝5.4倍**。維持費用だけならレオナルドが安い（12.75 < 26.40）が、抵抗が 11.4 倍に膨らむ

木の枝には「断面積が保存する」というレオナルド・ダ・ヴィンチの観察もある（r₀² = r₁² + r₂²）。どちらが正しいかは、費用を計算すれば決着する——流れを運ぶ管なら3乗が安い。理由は剪断応力に出る: Murray 則では壁の剪断応力が木のどこでも一定（幅 2×10⁻¹⁵）だが、レオナルド則では末端で激増する（幅 19.1）。血管の内壁は剪断応力を感じて径を調整すると言われており、「どこでも同じ」は生き物にとって都合がよい。

おまけに面白いことが出た。レオナルド則は「張力の三角不等式」の等号にちょうど乗る（r₁² + r₂² = r₀²）。すると分岐角の式は 0° を返す——子が親の向きに重なってしまい、木にならない。断面積保存という規則は、枝の形としては境界ぎりぎりの規則だった。

細り方の帰結ももうひとつ。Murray 則だと末端の総断面積が根の 2^(n/3) 倍（9世代で 8.0 倍）になる。管が増えるほど全体の断面積が増えるので、先へ行くほど流れがゆっくりになる——葉の隅々や毛細血管で交換がゆっくり行われることの、いちばん素朴な説明である。レオナルド則では総断面積が保存するので流速は落ちない。

どう作ったか

費用は「抵抗 8μLQ²/(πr⁴) ＋維持 λπr²L」。最小半径は三分探索と解析解の両方で出して突き合わせる。分岐角は式と、重みつきシュタイナー点（粗い格子で当たりをつけて詰める）の2経路。⚠️ 分岐点に内点が存在する条件（各端点で他の2本の引きの合力がその端点の張力を超える）を満たさない配置だと最小点が端に張り付くので、条件も一緒に判定している。機械検査は17件: ①数値と解析が 7×10⁻⁹ で一致・流量8倍で半径2倍 ②3乗の和が厳密に保存 ③★分岐角の独立2経路（3×10⁻⁶度）④等径で 120°＝Plateau ⑤剪断応力が一定・レオナルドは 19.1 の対照 ⑥合計費用 5.4倍・維持費用だけなら逆転 ⑦レオナルドは角度0°に退化 ⑧総断面積 2^(n/3) ⑨出荷SVG2枚。

→ 泡の法則（同じ「張力の釣り合い」＝等しい張力なら 120°）

→ DLA（同じ樹形だが、こちらは費用でなく偶然が決める）

→ カテナリー（力の釣り合いが曲線を選ぶ話）

出典

数理: C. D. Murray, "The physiological principle of minimum work I", PNAS 12 (1926) 207–214。分岐角の式は M. Zamir, "Nonsymmetrical bifurcations in arterial branching", J. Gen. Physiol. 72 (1978)。抵抗はハーゲン–ポアズイユ。レオナルド・ダ・ヴィンチの断面積保存の観察は『手稿』に由来する伝統的な観察。⚠️ 実物の葉脈・血管・枝の測定と突き合わせたわけではない——ここで確かめたのは「最小費用から何が出るか」だけで、実測との比較（分岐角 70〜80° や剪断応力の一定性）は伝聞として書いている
生成: generators/venation.js（費用の式・最小半径の数値と解析・剪断応力・Murray とレオナルドの細り方・分岐角の式と重みつきシュタイナー点・木の生成と費用集計・図2枚。依存ゼロ・乱数は枝の微小な揺らぎだけ）