ギリ・タイル — 5 種の多角形を並べるだけで、帯が辺を越えてつながる
なにか
イスラム建築の幾何文様（ゼリージュ・ギリ）は、コンパスと定規で描いた線の網目に見える。2007 年、Lu と Steinhardt は、その多くが5 種の多角形タイル——十角形・五角形・細長い六角形・蝶ネクタイ・菱形（辺はすべて同じ長さ・角は 36° の倍数）——にあらかじめ帯の線を描いておき、タイルを並べるだけで作れることを示した。線がタイルの辺の中点で決まった角度で交わるので、どう並べても帯が辺を越えてつながる。線を引く職人ではなく、タイルを並べる職人の仕事になる——これがデザインに流用できる理由で、トゥルシェと同じ「辺の中点で必ずつながる」型である。
並べ方を自分で探し、帯の規則を自分で決めた
並べ方。文献の図を写さず、十角形（辺 1・外接半径 φ）の中心を格子に置いて総当たりした。隣と辺を共有する格子は方向が 36° の倍数なので 4 通り（θ = 36°, 72°, 108°, 144°）。36° と 144° は十角形が重なり、72° と 108° は穴が全部「蝶ネクタイ」（角の列を機械で分類）。周期パッチの内側の辺はちょうど 2 枚で共有され、3 枚以上で共有される辺はない。
帯の規則。各辺の中点から辺に対して 54°（2 本の帯が中点で交わる角が 72°）で内側へ 2 本の線を出し、鏡映で対になる最も近い線と結ぶ——Hankin の「多角形の接触」型で、線の形はこの規則からだけ出てくる。十角形では中点を 1 つ飛ばしに結ぶ 10 本の弦になり、2 つの五角形が重なった 10 角星が浮かぶ。★共有辺の中点 132 個すべてで、両側のタイルの線が 180° で向き合う＝帯は辺を越えて直線で続く。規則が「辺の中点・同じ角度」だけでできているので、どのタイルをどう並べても成り立つ。
⚠️ 最初、細長い六角形・蝶ネクタイ・菱形で線が余った。中点から中点へまっすぐ渡る帯（2 本の線が同一直線上で向かい合う）を、交点の判定が「平行」として弾いていた。共線の対を足して 5 タイルとも全部の線が対になった。⚠️ 帯の作図規則（Hankin 1925・Kaplan）は伝聞で、5 タイルの中の帯の形は Lu–Steinhardt の図と照合していない。⚠️ 2007 年の「ギリは準結晶（ペンローズと同じ構造）」の主張も伝聞。ここで作ったのは周期パターンだけで、非周期のギリ（置換規則）は作っていない＝次の宿題。⚠️ 十角形の中心を格子に置く並べ方しか探していないので、五角形・菱形が穴に出る並べ方は出ない。
→ ペンローズ（5 回対称の非周期。2007 年の主張はギリをここへつなぐ）
どう作ったか
generators/girih.js。タイルは内角の列から作図（辺 1・反時計回り）、格子の穴は自由辺の追跡で多角形にして角の列で分類、帯は中点の線どうしの交点（共線の対を含む）で結ぶ。機械検査は 11 件: 5 タイルが閉じて角 36° の倍数・辺 1・分類が戻る、十角形の面積の閉じた式、格子 4 通りの総当たり（重なり／蝶ネクタイ 16）、θ=72°/108° で内側の辺が 2 枚共有、帯が全部対で端は中点、★2 パターンで共有辺の中点すべてで 180°、⚠️ 共線の対の罠、出荷SVG 2 枚。
出典
- 数理
- P. J. Lu, P. J. Steinhardt, "Decagonal and quasi-crystalline tilings in medieval Islamic architecture", Science 315, 1106 (2007)／E. H. Hankin, "The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art" (1925)／C. S. Kaplan, "Computer generated Islamic star patterns" (2000)。⚠️ 帯の規則と準結晶の主張は伝聞。並べ方と帯の形は自分で作図した結果で、文献の図とは照合していない
- 親戚
- ペンローズ・トゥルシェ・和柄・結ばれた輪（帯の交差）
- 生成
- generators/girih.js（girih.svg θ=72° の周期パターン・girih-book.svg 5 タイルと 2 格子）