ヒルベルト曲線 — 1 本の線が正方形を埋めるとき、守れる「近さ」は片方だけ
なにか
線は 1 次元、面は 2 次元——なのに 1 本の線で正方形を「埋め尽くす」ことができる。1890 年に Peano が式で示し、1891 年に Hilbert が図で描ける形にした。作り方は自己相似で、正方形を 4 つに割って小さい曲線を回して置き、それを繰り返す。次数を上げるほど線は面に近づき、極限では正方形のすべての点を通る。身近には、刺繍やプリント基板の一筆書き、画像の走査順、地図の検索索引（近い場所を近い番号にする）に使われる。
「近さ」は 2 方向ある
線でマスに番号をつけるとき、望みは 2 つある。番号が近ければ場所も近い（線をたどれば近くにいる）と、場所が近ければ番号も近い（隣のマスは番号も隣）。この 2 つを、ヒルベルトと、行ごとに折り返す蛇行、ビットを交互に並べる Z 順（Morton）で測った。
★前者を守るのはヒルベルトだけだった。全対で |Δp|²/|Δi| の最大をとると、次数 2〜6 で 2.5 → 3.6 → 4.5 → 5.2 → 5.6 と頭打ち（蛇行は 63・Z 順は 3,970 と、マスの数 N とともに伸びる）。この頭打ちの値は Hölder 1/2 の定数で、文献の 6 に下から近づいている（6 は伝聞）。
★後者はどの線も守れない。隣り合うマスの番号差の最大は、ヒルベルト ⌊5N/6⌋・Z 順 (N+2)/3・蛇行 2√N−1（n=3〜7 で式に一致）。つまりヒルベルトがいちばん悪く、蛇行がいちばんよい。1 本の線には端が 2 つしかないので、面を埋めればどこかで隣のマスが遠い番号になる——ヒルベルトはその代わりに「線をたどれば近い」方を定数で守っている。
作り方は 2 経路で照合した。L-system の亀（A → +BF−AFA−FB+, B → −AF+BFB+FA−）とビット演算（番号 d を 2 ビットずつ読んで回転・鏡映）が、次数 1〜5 の 4〜1,024 点で完全一致。⚠️ 全対の最大は 4ⁿ 点の総当たりなので n=6（840 万対）まで。⚠️ Moore 曲線（次数 n−1 のヒルベルト 4 本を回して閉じる）は最後の点が最初の隣に戻る輪で、一筆書きの刺繍に向く。
→ ドラゴン曲線（同じく 1 本の線が面を埋める。こちらは折り紙から）
どう作ったか
generators/hilbert.js。ヒルベルトは L-system とビット演算の 2 実装、対照に蛇行・Z 順・Moore。機械検査は 10 件: 2 経路の点列が完全一致、順列＋歩幅 1（次数 2〜7）、自己相似、Moore が閉じる、箱数え 4^k、★Hölder 比が単調で 6 未満・対照は伸びる、★隣の番号差の最大が 3 曲線とも閉じた式に一致、出荷SVG 2 枚。
出典
- 数理
- D. Hilbert, "Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück", Math. Ann. 38 (1891)／G. Peano (1890)／E. H. Moore (1900)。⚠️ Hölder 1/2 の定数「6」は伝聞で、ここでは測った値が下から近づくことだけを示した
- 親戚
- ドラゴン曲線・フィボナッチ・ワード・コーラム・ペンローズ（置換で作る自己相似）
- 生成
- generators/hilbert.js（hilbert.svg 次数 6・hilbert-book.svg 4 本の線と 2 つの局所性）