ジュリア集合
「2乗して c を足す」を繰り返し、逃げるか逃げないかで平面を塗り分けた図形である。つながるか塵になるかは z=0 から出る軌道1本で決まり、見た目では分からない。
1996年の「ジュリア集合」
1996年7月7日の日曜日、ストーンヘンジから幹線道路 A303 を挟んだ向かいの麦畑に、円をらせんに並べた巨大な図形が見つかった。円の数は最初 151 個と報じられ、同じ報告者があとで 149 個に訂正している。フラクタルのジュリア集合に似ていたので、「ジュリア集合」と呼ばれるようになった。ただし畑の図形の骨格はらせんに円を並べたもので、本物のジュリア集合とは別物である。ここでは両方を自分で作って並べ、それぞれの数理を測った。
本物の側の作り方は、このギャラリーでいちばん短い。z を2乗して c を足すことを繰り返し、逃げれば外、逃げなければ中とする。それだけで左上の図形が出てくる（Julia 1918 / Fatou 1917）。図は厳密に180°回転対称で、これは (−z)² = z² だから初手で違いが消えるため。格子の全セルで検査した。
つながるか塵になるかは、軌道1本が決める。そして見た目では分からない
平面の全部の点の運命が、たった1本の軌道（z = 0 の行き先）で決まる。これが Fatou と Julia の二分法である。判定は独立2経路で突き合わせた: ①軌道を回す（兎は10万手逃げず、3周期に厳密に落ちる）と②主カージオイドの式 |1−√(1−4c)| が 1 未満（式の内側から200点取ると軌道は全部有界、|c| が 2 を超える200点は3手以内に全部逃げた）。c = 0.66 の「塵」は解析の経路もある: 実軸上で毎手 c−1/4 = 0.41 以上ずつ増える（単調増加の不等式と実測が一致）。
見た目では分からない。渦の壁紙で有名な c = −0.7269 + 0.1889i を追うと、臨界軌道は430手めで逃げる。つまりあの渦は連結に見えて実は塵である（画面の解像度では区別がつかない）。連結かどうかは、否定も肯定も軌道1本で確かめられる。境界そのものは逆像反復（反発固定点から z → ±√(z−c)）でも作れて、6000点の 99.75% がエスケープ時間で見た境界の2セル以内に乗った。2つの作り方が同じ集合を指している。
畑の骨格。円の鎖を全部接させられるのは対数らせんだけ
1996年の畑の図形の骨格は「らせんに沿って円を並べたもの」だった。円の鎖が全部同時に接するのは、隣の中心距離と半径の和が同じ比率 e^(bΔθ) で伸びる。つまり自己相似な対数らせんだけの特権である（対数螺旋の「回転＝拡大」と同じ帳簿）。πのらせんのアルキメデス型で同じことをすると接し方が崩れる。似て見える2つのらせんが、円の鎖という「検査器」ではっきり分かれる。
どう作ったか
ジュリア集合はエスケープ時間で塗り、境界は逆像反復でも作って両方を突き合わせた。反復の上限を4倍にしても「逃げない」セルの数がほぼ動かないことを確かめてから、図を書き出している。畑の骨格は、対数らせんとアルキメデスらせんに同じ規則で円を並べ、接し方を比べた。
出典
- 数理
- G. Julia (1918), P. Fatou (1917–1920)。二分法（臨界軌道の有界性⟺連結）は Fatou と Julia の定理である。主カージオイドの式・逆像反復・ドゥアディの兎（A. Douady に因む）は複素力学系の標準。定理は引用で、こちらが確かめたのは数値の帰結（有界性・周期・一致率）
- ミステリーサークルの扱い
- 日付・場所・円の数は、発見直後に現地を見た Colin Andrews が当時のニュースレターに書いた記事による（colinandrews.net/JuliaSetStory.html に再録。最初の号で 151 個、次の号で「149 個（前号の 151 から訂正）」）。「ジュリア集合」の呼び名は、同じ人が 2009 年に「フラクタルに似ていたのでそう呼ばれるようになった」と書いている。誰が名づけたかは、見た範囲では書かれていなかった。畑の図形の図案は複製せず、骨格の数理（らせんの円の鎖）と本物のジュリア集合をこちらの図で引き直した。畑の図形はジュリア集合そのものではない、という区別ごと収蔵する
- 生成
- generators/julia.js（エスケープ時間・臨界軌道・カージオイド判定・反発固定点・逆像反復・境界セル・箱数え・らせんの円の鎖・図3枚。依存ゼロ・乱数は mulberry32。塗りは行の走りをまとめた path＝セル1つずつ描くと数MBに太る）