船もカモも同じ V 字

なにか

一定の速さ U で進む船は、水面にあらゆる向きの波を起こす。そのうち船と一緒に動いて見えるのは、進路と角 θ をなす向きに進み、位相速度が U cosθ に等しい波だけである。深水波の位相速度は √(g/k) なので、その波数は k(θ) = g/(U² cos²θ) になる。向きごとに波長が決まっていて、θ = 0 の横波が最も長く λ₀ = 2πU²/g、斜めになるほど短い（λ₀ cos²θ）。

船の位置から見た点 (x, y) で、どの向きの波が生き残るか。位相 Φ = k(θ)(x cosθ + y sinθ) を θ で停留させる（∂Φ/∂θ = 0）と、点と向きの対応 y/x = −sinθ cosθ/(1 + sin²θ) が出る。第 n 番の波紋（Φ = 2πn）はこれを媒介変数で書いて x = nλ₀ cosθ(1 + sin²θ), y = nλ₀ sinθ cos²θ となる。y/x は n にも λ₀ にも依らない。だから波紋の形は相似で、縁の角は船に依らない。

19.47° が閉じた形で出る

波紋の点の方向 y/x = sinθ cosθ/(1 + sin²θ) を θ で動かすと、最大は sin²θ = 1/3（θ = 35.26°）のところで、値は √2/4 である。ここが縁で、半角 α = arctan(√2/4) = arcsin(1/3) = 19.4712° になる。黄金分割で数値的に最大を探しても 1e−12 で同じ点に来る。この θ では波紋の接ベクトルがちょうど 0 になる（尖点）。θ がそれより小さい部分が横波（進路に直交する弧）、大きい部分が縦波（船から斜めに出る弧）で、尖点の縦波の波長は横波の ちょうど 2/3 である。波紋を何本も重ねると、尖点が一直線に並び、それが V の縁になる。

同じ数が別の理由でもう一度出る（下の④）。深さ h の水で深さフルード数 F_h = U/√(gh) が 3 のとき、航跡は横波を失ってマッハ角 arcsin(1/F_h) = arcsin(1/3) の縦波だけになる。深水の 19.47° は分散から、F_h = 3 の 19.47° は分散が消えた長波の速さ √(gh) から出る。

別経路: 波の場そのものを作る

停留位相は近似である。そこで波の場 η(x, y) = ∫ cos(k(θ)(x cosθ + y sinθ)) k dθ を数値積分で作り（積分を収束させるために波源の大きさで高い波数を落とすが、これは角に効かない）、船から半径 r の円周上で包絡線（複素振幅の大きさ）を測った。振幅の山は焦線 19.47° の内側に立ち（r = 40・80・160・320 で 17.21°・18.02°・18.55°・18.89°）、焦線の外では振幅が山の 1/10 以下に消える。山が焦線に届かないのは焦線が焦線（コースティック）だからで、その近くの場はエアリ関数で書け、山は焦線から r^−2/3 の距離にできる。実測の距離 2.26°・1.45°・0.92°・0.58° の比は 1.56・1.57・1.58 で、r が大きいほど 2^2/3 = 1.587 に寄る（指数 −0.65）。山の高さも 1.23・0.96・0.76・0.60 と r^−1/3 で落ちる（指数 −0.35）。焦線から離れた場所の r^−1/2 より減りが遅いのは、火線が明るい理由そのものである。コーヒーカップの光と同じ火線の数学が、ここでは水面の上に出ている。

角が変わるとき

次は浅い水である。分散関係を ω² = gk tanh(kh) にすると位相速度に上限 √(gh) ができ、角は速さに依るようになる。停留位相の向きは y/x = −(k′cosθ − k sinθ)/(k′sinθ + k cosθ) で、k(θ) は U² cos²θ = (g/k) tanh(kh) を二分法で解く。深さフルード数 F_h が 0.5 までは 19.47° と 0.01° も違わない。0.8 で 24.3°、0.9 で 34.6°、0.99 で 67.9° と開き、F_h → 1 で 90° に届く。F_h が 1 を超えると横波が存在しなくなり（U cosθ < √(gh) の向きの波しか静止できない）、縁はマッハ角 arcsin(1/F_h) になる（F_h = 2 で 30.0°・3 で 19.45°）。船の航跡は超音速の衝撃波と同じ式に乗り換える。

最後に船の大きさを見る。点でない船（幅 L のガウス圧力）を置くと、波数 k の成分の重みを k·e^−(kL)²/2 とおく（圧力から波高への応答が k に比例すると仮定した、こちらの置き方である）。フルード数 Fr = U/√(gL) を振ると、遅い船（Fr = 0.5）は横波ばかりで山は 0°、速い船ほど振幅の山が縁の内側へ寄る（Fr = 1.5 で 17.75°・3 で 9.0°）。速い船の V が細く見えることは、Rabaud と Moisy が 2013 年に航空写真から示し、角はフルード数に反比例して小さくなると書いている。この模型でも同じ向きに出るが、彼らの模型は重みを k_x² e^{−(kL)²/4π²} とする別の置き方なので、ここでの模型は重みの置き方に仮定があるので、数字は目安に留める。縁そのものは動いていない。動くのは「どこが明るいか」である。

どう作ったか

停留位相

生成器は generators/kelvin.js で、波紋を媒介変数で描き、y/x の最大を黄金分割で探して閉じた形と突き合わせる。尖点は接ベクトルの大きさで確かめる。

数値の場

θ を 4,001 分割した台形則で η(x, y) を積む。円周上の角 φ ごとに r ± 3.2 の 17 点で |η| の最大をとって振幅とし、0.25° 刻みで山を探してから 0.05° 刻みで詰める。

有限深さ

k(θ) は二分法を 200 回回して求め、k′ は中心差分で出した。F_h > 1 では横波が消える境 θ₀ = arccos(1/F_h) から上だけを掃く。

罠

数値の場の振幅は 1 点で読まない（波の山と谷の間に落ちる）。半径方向に 1 波長ぶん掃いて最大をとる。積分の収束のための高波数の切り落としは、角には効かないことを確かめてから入れた。

出典と権利

数理

Kelvin の 19° 28′ は、1887 年 8 月 3 日の機械技術者協会での講演 On ship waves を収めた Popular Lectures and Addresses 第 3 巻（1891）の p.481 と p.483 で読んだ（archive.org）。有限深さは T. H. Havelock, Proc. R. Soc. A 81 (1908) 398 の p.427（「角は 19° 28′ と 90° のあいだにしかない」「尖点の角は開いて直角に近づく」、水が深さに比べて速いときは式 (118) の sin²α = gh/c²）。速い船は M. Rabaud と F. Moisy, Ship wakes: Kelvin or Mach angle?, Phys. Rev. Lett. 110 (2013) 214503（arXiv:1304.2653）の要旨と式 (3)・(4)。H. Lamb の Hydrodynamics は開いていない。ここに書いた数はすべてこのギャラリーで計算し直したもので、閉じた形・数値の場・エアリの尺度・有限深さの掃引・船の大きさの掃引は実測である。

身近

船・カモ・水すましの航跡。橋の上から見下ろす川船の後ろ。

親戚

コーヒーカップの光（焦線＝コースティック）・カルマン渦列（流れの後ろに残る規則）・砂丘の風紋（流れが作る縞）・時間と周波数（分散と群速度）

生成

generators/kelvin.js（kelvin.svg カード・kelvin-book.svg 帳簿）

つながり: コーヒーカップの光（同じ火線）・カルマン渦列（流れの棚）・見取り図の発見91