和音のかたち — 2つの音を縦と横に入れると、協和が形になる

音は数の列。では、図形にするとどうなるか

音は「時間 → 振幅」の数値の列である。ところが1本の波を折れ線に描いても、図形としては貧しい（上下に揺れる線が1本あるだけ）。音を図形にするには次元を足す道が4本ある。

1. 2つの音を x と y に入れる ← この作品。周波数の比が形になる（リサジュー図形）
2. 波の重ね合わせを平面に敷く → 干渉縞。すでにモアレの棚でやっている（音でも同じことが起きる）
3. 円に巻いて級数にする → フーリエ。音の道具で輪郭が描ける（周転円で任意の閉曲線）——周転円で描く角で収蔵した
4. 比を数として見る → 連分数。なぜ鍵盤は12個か（かけ算第15号）でやった

1本目は身近な装置がある。オシロスコープに2つの音を入れると、横軸が下の音、縦軸が上の音になって、画面にこの図形が出る。ギターやピアノの調律、アナログ機器の位相合わせに使われた「聞くかわりに見る」測り方だ。

図形を見れば、音程が読める

比が有理数 p : q なら曲線は必ず閉じる（9音程すべてで、1周したあと始点に 10⁻¹⁵ の精度で戻る）。そして枠の縁に触れる回数がそのまま比になる——左右の縁に触れる回数と上下の縁に触れる回数の比が p : q。だから図形を見るだけで「これは完全5度だ」と読める。9音程すべてで例外なく成立した。

位相差によって形は変わるが、縁への接触回数は変わらない。ここが「見る測り方」として使えた理由で、逆に交差の数は位相差で変わってしまうので音程の指標にならない（実測して確かめた）。

位相差がある値になると、図形は潰れて弧を二度なぞる。ユニゾンで位相が揃うと 45°の直線、オクターブで位相差 π/2 のときは放物線 y = 1 − 2x²（cos2θ = 1 − 2sin²θ そのもの・残差 10⁻¹⁵）。オシロスコープで図形が一瞬まっすぐに見える瞬間の正体はこれ。

★自分で動かす

下の絵はこの場で計算している（あらかじめ描いた絵の切り替えではない）。上の図を作っているのと同じ 1 本のコード gallery/assets/lissajous-live.js を、記事の中で呼んでいる。位相差 δ を動かしても縁への接触回数は変わらない——変わらないことこそが「見る測り方」の中身なので、動かして確かめてほしい。

平均律だと図形が閉じない——うなりが目に見える

ピアノの5度は純正より 1.96 セント狭い（2^(7/12) = 1.498307… は 3/2 ではない）。無理数なので曲線は永久に閉じず、代わりに形がゆっくり回り続ける。この一巡の周期が 0.671 秒——そしてこれは、調律師が数えるうなりの周期とぴったり同じ（毎秒 1.490 回）。

理由は対称性にある。位相差 δ が π 進むと点の集合が元に戻る（上の音が奇数倍・下が偶数倍のとき）。2π ではなく π で戻るので、一巡の周期が倍音どうしのうなり 1/|2f₂ − 3f₁| と一致する。機械検査では、δ と δ+π の点集合が一致し、δ+π/2 では一致しないことを確かめた。耳で数えているものが、そのまま目で数えられる。

ずれの大きさは音程で違う。平均律が妥協しているのは5度（−1.96 セント）ではなく3度で、長3度は +13.69・短3度は −15.64 セント——5度の7倍ずれている。ギターで和音を弾くと3度が濁って聞こえるのはこのため。オクターブだけは平均律でも純正と完全に一致する（定義上）。

どう作ったか

曲線は x = sin(2πpt), y = sin(2πqt + δ) を素直に描くだけ（位相差は「ずれていく上の音」に置いた）。数え物は3つ: 縁への接触は山と谷を数える、退化は標本点のうち別々の点が何個あるかで判定（二度なぞっていれば実質半分になる）、うなりは倍音の周波数差。機械検査は19件: ①9音程が閉じる ②接触回数 2p : 2q ③★位相差を241通りに振っても接触回数が動かない（9音程×241＝2169組で例外なし） ④⚠️直す前は同じ2169組のうち18組で落ちた（下の注参照） ⑤平均律のずれ（5度 −1.96・長3度 +13.69・短3度 −15.64 セント）⑥12平均律が等比で12個で2倍 ⑦440 Hz の5度のうなり 1.490 Hz ⑧図形の一巡＝うなりの周期（差 0）⑨δ+π で戻る・π/2 で戻らない ⑩退化2種と放物線の恒等式 ⑪5度は退化しない対照 ⑫記事のドラッグ版を偽DOMの上で実際に走らせる12項目 ⑬出荷SVGとドラッグ版が同じ1本のコードを共有していること ⑭出荷SVG2枚。ドラッグ版の検査の実体は tools/lissajous-live-test.js。

⚠️ドラッグ版を作ったら、この記事の主張の反例が出た。「位相差によって形は変わるが縁への接触回数は変わらない」を、これまで δ=0.4 の1点でしか確かめていなかった。δ を端から端まで動かせるようにしたところ、2:3 なら δ=π/2 と 3π/2 のちょうど2点だけ、縦の接触が 6 でなく 5 と出た。正体は数え方で、極値がちょうど t=0 に乗る位相のとき、開区間の内側だけを見ていた数え上げが1個取りこぼしていた。曲線は閉じている＝t は輪なので、輪として数えるように直した（9音程×241通りで落ち0・直す前は18組で落ちる、を両方とも検査に置いてある）。太鼓の節線の「t=π/4 だけ節領域が7」と同じ型——量は一定なのに、測る道具がつまみの特別な値で跳ぶ。刻みだけでなく、つまみも端から端まで振ること。

→ なぜ鍵盤は12個か（かけ算第15号｜この作品 × フィロタキシス）

→ モアレ（波の重ね合わせを平面に敷く道＝2本目）

→ 太鼓の節線（音を「形」で見るもうひとつの棚＝面の振動）

出典

数理

Nathaniel Bowditch (1815) が振り子で観察し、Jules Antoine Lissajous (1857) が光学的に描いた曲線。純正音程の比と12平均律（半音 = 2^(1/12)）、セント（1200·log₂ 比）、うなり（倍音の周波数差）は音楽音響の標準

生成

generators/lissajous.js（曲線・閉じるかの判定・縁への接触・退化の検出・平均律とのずれ表・うなりの計算・音程9種の図とコマ送り図。依存ゼロ・乱数ゼロ）リサジューの数理は gallery/assets/lissajous-live.js に置き、出荷SVGの生成器と記事のドラッグ版が同じ1本を共有している