かけ算第15号｜和音のかたち × フィロタキシス

なぜ鍵盤は12個か — 葉と音は、同じ装置に正反対の注文をしている

円周に黄金角ずつ点を置いた図と、完全5度ずつ点を置いた図の比較。5度側は12本の破線の上に点が乗り、12番目が始点のすぐ隣に戻る — どちらも**円周に一定の角度で点を置いただけ**。左＝葉序の黄金角 137.507°（どこまで置いても均等に散る）／右＝音階の完全5度 210.587°（**12個で円が12等分され**、12回積んだ点は始点の 23.46 セント隣に戻る＝ピタゴラスのコンマ）

なにか

和音のかたちで「平均律の5度は純正より 1.96 セント狭い」と測った。ではなぜ12なのか。オクターブを円周1周とすると、完全5度は円周の log₂(3/2) = 0.5849625… 周ぶん、角度にして 210.587°。これを積み上げていくのは、フィロタキシスで種を 137.5° ずつ回して置くのとまったく同じ装置である。

違うのは注文だけ。葉は「どの2枚も重なりたくない」ので、いつまでも均等に散る角度がほしい。音階は「少ない回数で元の音に戻りたい」ので、早く一周ぶんに揃う角度がほしい。注文が正反対だから、選ばれる数の性質も正反対になる——近似しにくい数か、よく近似できる数か。

記録を更新するのはどの分母か

分母を1から100まで増やしたときの近似誤差の記録更新グラフ。音階は7/12・24/41・31/53で急激に下がり、葉序はフィボナッチ数列でゆるやかに下がる — 横＝分母、縦＝近似の誤差（対数）。記録を更新した分数だけを線でつないだ。**音階（藍）は 7/12 で一段落ち、31/53 で 10⁻⁴ を切る**。**葉序（茜）の記録更新分母はフィボナッチ数列そのもの**（1・2・3・5・8・13・21・34・55・89）で、下がり方がいちばん遅い＝いちばん近似しにくい

log₂(3/2) を連分数に開くと [0; 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5, 2, 23, …]。収束分数は 1/2、3/5、7/12、24/41、31/53 と並ぶ。分母が音階の枚数、分子が5度の半音の数——12平均律の「5度＝7半音」がここに出てくる。41音・53音の平均律が実在するのも同じ理由で、53平均律の5度は誤差 0.068 セント＝人間には完璧に聞こえる。

この作品ではかけ算第5号で作った「記録更新列」の物差しをそのまま音に通した。ただし記録列と連分数は同じものではなかった: 音階の記録列には収束分数のあいだに中間分数 2/3・4/7・17/29 が挟まる。いっぽう黄金角の記録列にはひとつも挟まらず、フィボナッチだけが並ぶ——連分数が [0; 2, 1, 1, 1, …] と 1 ばかりで、挟まる余地がないからだ。「近似しにくい」の正体がこの余地の無さである。

正反対の注文を、同じ物差しで測る

近似のしやすさを q²|x − p/q| の小ささで測ると、黄金角はどの分数でも 0.4377 より下がらない（Hurwitz の下限 1/√5 = 0.4472 に張り付く＝これ以上よく近似できない最悪の数）。音階は 0.042 まで下がる——約10倍よく近似できる。同じ物差しの両端に、葉と音が立っている。

面白いのは n = 12 だけは音階の角度のほうが均等だったこと（12点での最小間隔は音階 7.52% > 黄金角 5.57%）。12音が使いやすいのは偶然ではない。しかし 13点目で音階は 1.96% に潰れる（これがコンマ）いっぽう黄金角は 5.57% のまま動かない。「どの n でも間隔が縮まないのは黄金角だけ」——n=2〜200 で min(n × 最小間隔) を比べると黄金角 0.450 > √2−1 0.356 > 音階 0.163 > 1/π 0.065 > 1/2 0.000。黄金角の「最良」は、特定の枚数で勝つことではなくどの枚数でも負けないことだった。

ピタゴラスのコンマは整数のまま出せる: 5度を12回積むと 3¹²/2¹⁹ = 531441/524288 = 23.4600 セントの余り。この「あと少しで閉じない」を12等分に配ってしまったのが12平均律で、そのしわ寄せが和音のかたちで見た 3度の +13.69 セント・−15.64 セントになる。

どう作ったか

連分数と最良近似は自前（総当たりの記録更新と連分数の突き合わせ＝独立2経路）。円の図は「円周に角度 α で点を置く」1つの関数で、葉序と音階の両方を描いている（引数が違うだけ）。機械検査は17件: ①連分数 [0;1,1,2,2,3,1,5,2,23] と収束分数 7/12・24/41・31/53 ②収束分数は記録列に全部含まれる ③記録列に挟まる中間分数 2/3・4/7・17/29 ④黄金角の記録列＝フィボナッチ・連分数は1ばかり ⑤コンマ 3¹²/2¹⁹＝23.4600 セント ⑥12平均律 −1.955／53平均律 −0.068 セント ⑦周波数比からの計算と対数からの計算が一致（独立2経路）⑧近似のしやすさの両端 ⑨n=12 の逆転と n=13 の崩壊 ⑩どの n でも縮まないのは黄金角だけ ⑪出荷SVG2枚。

→ 和音のかたち（この作品の親①・平均律のずれを図形で見る）

→ フィロタキシス（この作品の親②・黄金角が詰まり方で最良になる話）

→ Glass パターン（記録更新列＝フィボナッチを機械化した作品。物差しを借りた）

→ 見取り図発見20（同じ装置・正反対の注文）

出典

数理: 連分数による最良近似と Hurwitz の定理（|x − p/q| < 1/(√5 q²) を満たす分数が無限にあり、√5 は黄金比で最良）。ピタゴラスのコンマ 3¹²/2¹⁹、12平均律、41音・53音平均律は音楽理論の標準。葉序と連分数の関係は H. S. M. Coxeter (1953) 以来の標準的な説明
生成: generators/temperament.js（連分数・収束分数・総当たりの記録更新・近似のしやすさ・ピタゴラスのコンマ・n平均律の5度誤差・円周に角度を積む共通関数・図2枚。依存ゼロ・乱数ゼロ）