周転円で描く角

音の道具で輪郭が描ける

和音のかたちで、音を図形にする道は4本あると並べた。その3本目が「円に巻いて級数にする」＝フーリエである。閉じた曲線を複素数の列 z(t) と見れば、どんな輪郭も

z(t) = Σ c_k e^2πikt

。半径 |c_k| の円が k 周まわる、その足し算で書ける。音の分析に使う道具が、そのまま形の分析の道具になる。だからこの作品は音の棚と、非周期タイリングの棚を掛け合わせたものである。描く相手には、当ギャラリーで作った Hat タイルの輪郭（13角形）を選んだ。理由は権利がきれいなことと、もうひとつ。Hat には角が13個ある。

跳びのところは、必ず 8.9490% 行き過ぎる

これがギブス現象である。値は跳びの高さの 8.948987% で、もっと正確には (2/π)·Si(π) − 1 を跳び 2 で割った数になる。Si(π) は積分 ∫₀^π sin t/t dt ＝ 1.8519370519824661 で、ここでは冪級数とシンプソン則の2経路で 2e-14 まで突き合わせた（独立2経路）。

面白いのは行き方の速さが波形で違うことだった。矩形波は N を3倍にすると誤差が9分の1（1/N²）で、N=45 でもう 8.9510% まで来る。ノコギリ波は N を5倍にして5分の1（1/N）で、N=4000 でようやく 8.9365% に届く。着く場所は同じで、速さだけが対称性のぶん違う。

最大が出る位置も測った。矩形波ではどの N でも x = π/(2N) にある（測ると x·N/π = 0.500）。ノコギリ波では x = π − π/N になる。つまりはみ出しは跳びに向かって「本数の逆数」の速さで寄っていく。この「寄っていく」が、次の節で角の話になる。

角が1つでもあると、係数の減衰がそこで止まる

弧長で等間隔にパラメータを取ると、多角形の接線は階段関数になる（辺の上では向きが一定で、頂点で跳ぶ）。階段関数の係数は 1/k で落ちるから、その積分である輪郭の係数は 1/k² で落ちる。角がなければ輪郭は解析的で、係数は指数的に落ちる。「なめらかさ」がそのまま「係数の落ち方」になっている。

パラメータの取り方を変えて確かめた。頂点で等分（辺の長さが違うので弧長とは別のパラメータになる）にしても傾きは −2.089 で、ほとんど変わらない。つまり減衰の速さを決めているのはパラメータの取り方ではなく、角があるかどうかだけだった。

矩形波の跳びと、タイルの角は、同じ曲線だった

接線は階段関数だから、タイルの角では階段関数のギブス現象がそのまま出る。これが予想だった。測った。Hat の13個の角すべてで、接線の部分和が接線の跳びを何割はみ出すかを数えた。

寄っていった。しかも Hat の角は 60° の折れと 90° の折れの2種類（接線の跳びが 1.000 と 1.414）あるのに、分けて平均しても 8.962% と 8.941% でほぼ同じになる。はみ出しの割合は、角度にも、跳びの大きさにも、辺の長さにもよらない。1次元の矩形波でわかっていた定数が、2次元のタイルの角に、同じ数字のまま出ている。

この「タイルの角が矩形波と同じ定数」はこの作品で計算して確かめた主張で、文献での扱いは確かめていない。筋は上に書いたとおり（弧長パラメータ → 接線が階段関数 → 階段関数のギブス）で、新しい定理だとは主張しない。そう書いてある文献はまだ見ていないので、ここでは「測った」とだけ言う。

おまけ：「丸いほど得」は、係数の項ごとの不等号だった

係数を持っていると、幾何の量が式で出てくる。閉曲線の面積は A = π Σ k |c_k|²、弧長パラメータなら周長は L² = 4π² Σ k² |c_k|²。引くと

L² − 4πA = 4π² Σ (k² − k) |c_k|²

k は整数なので k(k−1) は必ず 0 以上になる。だから右辺は項ごとに非負で、L² ≥ 4πA が出る。これが等周不等式（同じ周長なら円がいちばん広い）で、この証明は Hurwitz が 1901 年にやっている。100001 個の項を実際に数えて、負の項がひとつもないことと、和が実測の L²−4πA に一致することを確かめた。

等号は「k=0 と k=1 以外の係数がぜんぶ 0」のとき、つまり円だけ。実際に円を測ると |c₁| = 1 で他は最大 2.4e-16、L²/(4πA) = 1.0000000000000 だった。泡や蜂の巣が丸くなろうとする理由が、係数の並びの中に不等号として書いてある。

ここには罠がひとつある。面積の等式はパラメータの取り方によらない（頂点等分でも 1e-12 で一致）が、周長の等式は弧長パラメータでないと壊れる。頂点等分で測ると 4π²Σk²|c_k|² は真の L² の 1.0760 倍になる。壊れる向きは必ず上（コーシー・シュワルツの不等式 ∫|z′|² ≥ (∫|z′|)² のぶん）。つまり等周不等式の証明は、弧長パラメータの上に乗っている。パラメータを変えると証明が壊れるという形で、「点に落とすとき何を捨てたかが答えを変える」と同じ罠が、ここにもある。

回折はフーリエ変換そのもの。この作品の3日前の話

構造に光を当てて出る回折像は、その構造のフーリエ変換の絶対値の2乗である。だから「輪郭をフーリエ級数に分解する」というこの作品の操作は、光にやらせるとそのまま実験になる。

2026年7月29日、東京工業大学・東京大学生産技術研究所・NTT の森竹勇斗らが Nature Communications に「Chiral diffraction from aperiodic monotile structure」を発表した。Hat タイルの重心に点を置いた集合を、厚さ 350nm の窒化シリコン膜に半径 100nm の穴として電子線リソグラフィで刻み、レーザー（532nm）を当てて回折像を撮っている。回折像には風車のように片回りする、鏡映のない模様が現れ、鏡像の構造ではその向きが反転した。2023年に見つかった数学の形が、3年でナノ構造の光学素子になっている（この作品の主張とは独立）。「Hat の回折像を計算する」はこの作品の道具の素直な続きで、Hat の回折像で計算した。

どう作ったか

係数は2通りで出した。①サンプルからの素朴な DFT と、②辺ごとに閉じた形で積分した厳密な係数（多角形は区分1次だから積分が手で解ける）である。両者の差は最大係数比で 1.26e-8 まで一致し、しかもサンプル数を4倍にすると18分の1・14分の1に縮む。残っているのは折り返し（エイリアシング）の Σc_k+mN だけという、説明どおりの振る舞いだった。

部分和は、どこで打ち切っても始点と終点が 10⁻¹⁵ の範囲で一致し、閉じた曲線になる。

予想を外した点を1つ書いておく。オクターブごとの比は「1/4 に落ち着く」と書いたが、k=8→16 の帯ではまだ 0.181 で、落ち着くのは k ≥ 16 からだった。検査は漸近域を先に宣言してから測るように直した（短い窓はきっちり一定に見えるの裏返し＝短い窓は「まだ一定でない」ことも見せる）。

→ 和音のかたち（親①・音を図形にする4本の道の3本目）

→ Hat タイル（親②・角が13個ある非周期モノタイル）

→ 泡の法則（等周不等式が効いている場所）

→ 和音のモアレ（音の棚の隣の作品）

出典

数理

複素フーリエ級数と部分和。ギブス現象の定数 (2/π)Si(π) は H. Wilbraham (1848) と J. W. Gibbs (1898)（Wilbraham が先に書いていたことは後に知られた）。閉曲線の面積・周長をフーリエ係数で書いて等周不等式 L² ≥ 4πA を導く証明は A. Hurwitz (1901)。「弧長パラメータの多角形では接線が階段関数になるので、タイルの角に矩形波と同じギブス定数が出る」という言い方はこの作品で機械検査したもので、文献での扱いは確かめていない

描く相手

Hat タイル＝D. Smith, J. S. Myers, C. S. Kaplan, C. Goodman-Strauss, "An aperiodic monotile" (2023, arXiv:2303.10798)。輪郭は当ギャラリーの Hat の実装から借りている

実験

Y. Moritake, M. Takiguchi, T. Aihara, M. Notomi, "Chiral diffraction from aperiodic monotile structure", Nature Communications 17, 6085 (2026-07-29)

生成

generators/fourier.js（DFT/IDFT・辺ごとの厳密係数・弧長と頂点等分の2つのパラメータ・楕円の弧長サンプル・Si(x) の2経路・周転円の鎖・13角のギブス測定・図4枚。依存ゼロ・乱数ゼロ。generators/hat.js から輪郭を借りている）