ロープだけの作図 — 定規が無くても、幾何は全部できる
夜の麦畑の道具箱
ミステリーサークルは1970年代からイングランド南部の麦畑に現れた巨大な幾何図形で、1991年に2人組（Bower と Chorley）が「自分たちが描いた」と名乗り出た。道具はロープと板だけ（⚠️経緯は伝聞）。一端を杭に掛けて張ったロープは、そのまま巨大なコンパスである。
ここで数学の問いになる。定規なし・コンパスだけで、作図はどこまでできるのか？ 答えは「全部」——定規とコンパスで作図できる点はすべて、コンパスだけで作図できる（Mohr 1672 / Mascheroni 1797）。ロープ1本あれば、ユークリッド幾何の点はすべて畑に打てる。夜の畑で精密な図形が描けたことに、種も仕掛けもある——仕掛けの名前は定理である。
★線を引かずに中点を取る——仕掛けは反転
核になる部品は反転である。円 C(O, r) に対する点 X の反転 X* は OX·OX* = r² を満たす点で、これがコンパスだけで作図できる（X を中心に O を通る円を描き、基準円との交点 U, V から円を2つ——衝突する点が X*）。D は A から 2AB の距離にあるから、反転すると AM = AB²/(2AB) = AB/2——中点が出る。
機械検査では、ランダムな200組の A, B でこの作図を実行し、座標計算の中点（独立の第2経路）と突き合わせた——最大のずれは 10⁻¹⁴ の桁。倍点（|AD| = 2|AB|・3点が同一直線）、反転の恒等式 OX·OX* = r²、鏡映も同様に検査した。⚠️反転には |OX| が r/2 より大きいことが必要で、境目の内側では交点の円が届かない——このガードも「内側なら null が返る」ことまで検査にした。
ロゼットの正六角形は「出てくる」
主図の六弁ロゼット（ヘクサフォイル）は、教会の石にも、麦畑にも、日本の麻の葉文様の親戚にも現れる古い形である。作り方は「中心の円のまわりに、円周上の点を中心に同じ円を6つ」——それだけで、円の交点が正六角形を2つ作る。花びらの先端（隣どうしの円の外側の交点）は中心から √3·R にあり、角度はきっちり 60° 刻み（検査では 10⁻¹² 以内）。半径 R の円で正六角形が出てくるのは、正六角形の辺の長さが外接円の半径に等しい——ハニカムや麻の葉と同じ、六角の特権である。
どう作ったか
機械検査は10件: ①円と円の交点が両方の円上に乗る（自己検証・10⁻¹⁵）②鏡映が代数計算と一致（200組）③倍点 |AD| = 2|AB|・同一直線（200組）④反転の恒等式 OX·OX* = r²・X* が半直線 OX 上（200組）⑤★コンパスだけの中点 vs 座標計算（200組・最大 10⁻¹⁴）⑥使った円はちょうど7つ ⑦反転のガード（|OX| が r/2 以下なら作図不能＝null）⑧ロゼットの先端が半径 √3·R・60° 刻み（10⁻¹²）⑨決まった乱数 ⑩出荷SVG2枚。
出典
- 数理
- G. Mohr, Euclides Danicus (1672)。L. Mascheroni, La geometria del compasso (1797)。反転を核にした証明の道筋は現代の教科書の標準。⚠️定理の全証明は実装していない——核になる3部品（倍点・反転・中点）を実装して検証した
- ミステリーサークルの扱い
- オカルトではなく野外の幾何アートとして扱う。1991年の告白の経緯は伝聞。誰が・なぜは扱わず、「ロープ＝コンパスで何が描けるか」という数理だけを再実装した。特定の畑の図案は複製しない（無名の製作者の作品のため）——ロゼットも中点の作図もこちらで引いた図である
- 生成
- generators/mascheroni.js（円と円の交点・作図記録・倍点・反転・中点・ヘクサフォイル・図2枚。依存ゼロ・乱数は mulberry32）