ロープだけの作図
定規とコンパスで作図できる点は、コンパスだけでもすべて作図できる（Mohr と Mascheroni の定理）。ロープ1本を杭に掛ければ巨大なコンパスになり、中点は円7つで取れる。
夜の麦畑の道具箱
ミステリーサークルは、イングランド南部の麦畑に現れる巨大な幾何図形である。1991年9月9日の月曜日、画家の Doug Bower と Dave Chorley が、13年前から自分たちが作ってきたと名乗り出た。ロンドンの新聞 Today の記者の前で実演した道具は、長さ 4 フィートの板と、それを引く綱、糸の玉、簡単な照準器だった。中心の杭のまわりを回りながら板で麦を倒していく。杭に掛けて張った綱は、そのまま巨大なコンパスである。
ここで数学の問いになる。定規なし・コンパスだけで、作図はどこまでできるのか？ 答えは「全部できる」である。Mohr（1672）と Mascheroni（1797）が示したとおり、定規とコンパスで打てる点は、コンパスだけでも打てる。ロープ1本あれば、ユークリッド幾何の点はすべて畑に打てる。夜の畑で精密な図形が描けたことに、種も仕掛けもある。仕掛けの名前は定理である。
線を引かずに中点を取る。仕掛けは反転
核になる部品は反転である。円 C(O, r) に対する点 X の反転 X* は OX·OX* = r² を満たす点で、これがコンパスだけで作図できる。X を中心に O を通る円を描いて基準円との交点 U, V を取り、U と V を中心に O を通る円を2つ描くと、もう一方の交点が X* になる。D は A から 2AB の距離にあるから、反転すると AM = AB²/(2AB) = AB/2 となり、中点が出る。
ランダムな200組の A, B でこの作図を実行し、座標で計算した中点と比べると、ずれは最大でも 10⁻¹⁴ の桁だった。反転には |OX| が r/2 より大きいことが必要で、それより内側では交点の円が基準円に届かない。
ロゼットの正六角形は「出てくる」
主図の六弁ロゼット（ヘクサフォイル）は、教会の石にも、麦畑にも、日本の麻の葉文様の親戚にも現れる古い形である。作り方は「中心の円のまわりに、円周上の点を中心に同じ円を6つ」。それだけで、円の交点が正六角形を2つ作る。花びらの先端（隣どうしの円の外側の交点）は中心から √3·R にあり、角度はきっちり 60° 刻みになる（ずれは 10⁻¹² 以内）。半径 R の円で正六角形が出てくるのは、正六角形の辺の長さが外接円の半径に等しいからである。ハニカムや麻の葉と同じ、六角の特権である。
どう作ったか
円と円の交点を求める関数だけを部品にして、倍点・反転・中点を組み立てた。どの手順でも使ったのはこの関数だけで、直線は一度も使っていない。中点の作図に使った円がちょうど7つであることも数えてある。
出典
- 数理
- 定理は G. Mohr, Euclides Danicus (1672) と L. Mascheroni, La geometria del compasso (1797) による（どちらも原典は開いていない）。反転を核にした証明の道筋は、現代の教科書でよく使われている。定理の全証明は実装していない。核になる3部品（倍点・反転・中点）を実装して検証した
- ミステリーサークルの扱い
- オカルトではなく野外の幾何アートとして扱う。1991年の告白は Washington Post の 1991年9月11日の記事（ロンドン発・Web Archive の写しで読んだ）の「月曜日、画家の Doug Bower（67）と Dave Chorley（62）が、13年間この円を作ってきたと主張した」「Today の記者の前で、手で綱を引く 4 フィートの板を使い、中心の杭のまわりを回って麦を倒した」による。道具の「糸の玉と簡単な照準器」は Science News 141 (1992年2月1日) p.76 の I. Peterson の記事にある。Today の紙面そのものは開いていない。誰が・なぜは扱わず、「綱＝コンパスで何が描けるか」という数理だけを再実装した。特定の畑の図案は複製しない（無名の製作者の作品のため）。ロゼットも中点の作図もこちらで引いた図である
- 生成
- generators/mascheroni.js（円と円の交点・作図記録・倍点・反転・中点・ヘクサフォイル・図2枚。依存ゼロ・乱数は mulberry32）