ピンホイール・タイリング — 1 種の三角形で、向きが増え続ける

なにか

ペンローズは 2 種類、Hat は 1 種類（と裏返し）のタイルで、平面を決して周期しないように埋めた。どちらもタイルの向きは有限で——ペンローズは 10 通り、Hat は 12 通り——それ以上は現れない。ピンホイール（Conway–Radin, 1994）はもうひとつ先を行く。辺 1 : 2 : √5 の直角三角形 1 種類だけで平面を埋めるのに、タイルの向きが世代ごとに増えて、どこまでも閉じない。「非周期」が並べ方だけでなく回転にも起きている。

身近な場所では、メルボルンの Federation Square（2002）の外壁がこのタイリングで覆われている。三角形 1 種だけの壁面なのに、見る距離によって違う模様が浮かぶのは、向きが無限にあるからである。

5 分割は 2 通りしかない——そして向きが増えるのは、そのうち 1 つだけ

置換の規則は「1 枚を、相似比 1/√5 の 5 枚に割る」である。どう割るか。親の三角形（直角の頂点 A、頂点 Q・B）の中に、辺 1:2:√5・斜辺 1 の三角形が 0.2 刻みの格子点の上に 34 枚置け、そのうち 5 枚で親を過不足なく覆う組は総当たりで 2 通りだけだった。使う頂点は同じ 4 点 (0.8,0.4), (1,0), (1.6,0.8), (1.8,0.4) で、組み方だけが違う（向きが増える方を、ここでは Radin の組と呼ぶ）。

★ここが今回いちばん面白かったところで、2 通りとも、5 枚の回転は全部同じ（親から α = arctan(1/2) だけ回り、あとは 90° の倍数）。違うのは裏返しの混ざり方だけである。Radin の組は 5 枚のうち 3 枚が親の裏返し、もう 1 つの組は 5 枚とも裏返し。ところが世代を重ねると、Radin の組は向きが 1 → 4 → 13 → 22 → 30 → 38 → 46 → 54 と増え続け（増分は 3, 9, 9 のあと 8 で一定）、もう 1 つの組は 4 で止まる。

理由は鏡にある。裏返したタイルの中では、回転の向きが逆になる（鏡に映した時計は逆回り）。表と裏が混ざる組では、n 世代後の回転が +α と −α の足し算 Σ(±α) になって −nα から +nα まで散らばる。5 枚とも裏返しの組では毎世代いっせいに符号が反転するだけなので、nα の 1 つに揃ってしまう。向きが増えるかどうかを決めているのは回転ではなく、裏返しが混ざるかどうかだった。

⚠️ 正直に書くと、最初に自分で導いた分割——直角の頂点から斜辺へ垂線を下ろして 2 つに割り、大きい方を 3 辺の中点で 4 つに割る——は、後者（5 枚とも裏返し）そのものだった。作ってみたら向きが 4 で止まり、それで総当たりに切り替えて上のことが分かった。失敗した分割は対照として図に残してある。

閉じないこと——数の側から

どのタイルの向きも a·α + b·90°（a, b は整数・|a| ≤ 世代）の格子に乗ることを、世代 0〜6 の全部の向きについて、実装とは別の整数の探索で確かめた（外れ 0）。だから向きが有限で閉じるかどうかは、a·α がいつか 90° の倍数にぴったり戻るかだけで決まる。a を 10, 100, …, 100 万まで振ると、最接近のずれは 4.3° → 0.47° → 0.065° → 0.0062° → 0.00072° → 0.000064° と、10 倍にするたびに約 1/10 にしか縮まない。有理数なら a のどこかでずれが厳密に 0 になるので、これは「戻らない」側の数値である。

⚠️ α/π が無理数であること（したがって向きが本当に無限であること）は Radin の定理で、ここでは伝聞。確かめたのは有限世代の向きの数と、上の数値の最接近だけ。

→ Hat タイル（向きが 12 通りで閉じる側・鏡映は 1/(3φ²) の割合で混ざる）

→ Hat の回折像（向きが有限だと回折像に回転対称が立つ。ピンホイールの回折像は円対称に近づくはず＝次の宿題）

どう作ったか

generators/pinwheel.js。5 分割の表を持ち、親の枠（直角・長い脚・短い脚）に写して再帰する。機械検査は 14 件: 0.2 格子の総当たりで三角形が 34 枚・5 枚の被覆が 2 通りだけ、実装の 2 つの分割がその解そのもの、5 枚とも 1:2:√5 で直角・面積の和が親（2 通りとも）、裏返しの枚数（3／5）、★5 枚の回転が同じ、枚数 5ⁿ と辺 5^(−n/2)、向きが格子に乗る（世代 0〜6 全部）、★向きの数が増え続け世代 4 から毎回 8／対照は 4 で止まる、最接近のずれが 0 にならない、出荷SVG 2 枚。

出典

数理

C. Radin, "The pinwheel tilings of the plane", Annals of Mathematics 139 (1994)。5 分割は J. H. Conway による（Radin の論文中）。⚠️ 分割の座標は文献を写さず 0.2 格子の総当たりで出した。2 通りのうち向きが増える方を「Radin の組」と呼んでいるが、Radin の図そのものとの照合はしていない（伝聞）

身近

Federation Square（メルボルン・2002）の外壁パネル

親戚

ペンローズ（向き 10 通り）・Hat（向き 12 通り・裏返しの混ざり方が置換で決まる）・Spectre（裏返しを使わない側）

生成

generators/pinwheel.js（pinwheel.svg 世代 5 の正方形・pinwheel-book.svg 帳簿）