スーパー楕円 — 指数 1 つで菱形から楕円、長方形まで。尖る場所は円を境に跳ぶ
なにか
楕円の式 (x/a)² + (y/b)² = 1 の「2」を自由な n にした曲線族。n = 1 で菱形、n = 2 で楕円、n を大きくすると角丸の長方形に近づき、n < 1 では内側にへこんで星形になる（n = 2/3 はアステロイド）。1818 年の Lamé の曲線だが、デザインの名前は Piet Hein がストックホルムの広場 Sergels torg（1959）に n = 2.5・6:5 の形を置いて「スーパー楕円」と呼んだことから広まった（伝聞）。テーブル・皿・スマホのアイコンの角にも使われる。
尖る場所は、円を境に「軸」から「対角」へ跳ぶ
面積には閉じた式 A = 4ab·Γ(1+1/n)²/Γ(1+2/n) がある。Γ を Lanczos 近似で自前に書き（Γ(1/2)² = π・Γ(5) = 24 で答え合わせ）、数値積分と n = 0.5〜8 の 9 点で 1e-6 以内に一致させた（独立 2 経路）。n=2 で π・n=1 で 2・n=2/3 で 3π/8・n→∞ で 4。周長も n=1 で 4√2・n=2 で 2π・n=2/3 で 6 に 1e-5 で一致。Piet Hein の n = 2.5 は外接長方形の 84.5%（楕円 78.5%）。
曲率を第 1 象限で追うと面白いことが起きる。★n = 2（円）では一様。n < 2 では曲率が最大になるのは軸の点（0°）、n > 2 では対角（45°）で、間の角度に止まることがない——n を連続に回しても、尖る場所は跳ぶ。理由は軸のそばの冪にある: x = a − ε で κ ∝ ε^{1−2/n}（両対数の傾きが n = 1.5, 2, 2.5, 4, 8 で式と 0.03 以内）。指数が n = 2 で 0 になり、その両側で軸の曲率は発散（n < 2）か 0（n > 2）へ振れる。n = 2.5 は軸の曲率が 0 ——辺が平らで角だけ丸い、「長方形と楕円の間」の見え方はここから来る。
⚠️ n < 1（へこむ側）は軸で接線が水平になる尖点で、上の冪の話の外。⚠️ a:b = 6:5 にすると跳ぶ先は 45° でなく 33° になる（対角の位置が動く）。⚠️ Sergels torg の n=2.5・6:5 と、アイコンに使われる話は伝聞。曲率は解析式と 3 点の外接円の 2 経路で 1e-5 以内。
どう作ったか
generators/superellipse.js。媒介変数 x = a·sgn(cos t)|cos t|^{2/n}, y = b·sgn(sin t)|sin t|^{2/n}。機械検査は 12 件: Γ の答え合わせ、面積の 2 経路（9 点）、特別な値（π・2・3π/8・4）、周長 3 値、曲率の 2 経路（12 点）、n=2 の一様、★最大曲率の角度が軸/対角に跳ぶ、6:5 では 33°、★軸の冪 ε^{1−2/n}、n=2.5 の 84.5%、出荷SVG 2 枚。
出典
- 数理
- G. Lamé (1818)。面積の Γ 公式は自分で数値積分と照合した。⚠️ Piet Hein・Sergels torg（1959）・アイコンの逸話は伝聞
- 親戚
- ルーローの三角形・結晶のかたち・周転円で描く角・カテナリー（式 1 本の曲線）
- 生成
- generators/superellipse.js（superellipse.svg 5×5 の図鑑・superellipse-book.svg 曲線族と曲率）