畳の敷き方

なにか

和室の畳には敷き方の作法がある。畳の角が 1 点に 4 つ集まる「十字」を作らないのが祝儀敷きで、ふだんの部屋はこう敷く。十字ができてもかまわない敷き方が不祝儀敷きで、葬儀などで使われてきた（建材メーカーの大建工業の解説による）。4 畳半なら真ん中に半畳を置き、そのまわりに 4 枚を風車のように回すのが定石で、この形は左に回すか右に回すかの 2 つがある。

畳は縦横 1 対 2 の長方形で、半畳は正方形。だから部屋を半畳のマス目で切ると、畳の敷き方はドミノ（1×2）と、ときどきモノマー（1×1）で長方形を埋める問題になる。ドミノで長方形を埋める数は Kasteleyn の積公式で閉じた形に書ける。ここに「十字を作らない」という掟を 1 つ足す。数学ではこれを tatami tiling と呼び、数え上げと構造が調べられている（Ruskey と Woodcock 2009、Erickson・Ruskey・Schurch・Woodcock 2011）。ここで確かめたのは自分の数え上げだけで、文献の式は一致したものだけ「一致」と書く。

掟が数をどう変えるか

掟なしの数は、マスを 1 つずつ埋める背理（backtracking）と、列ごとに状態を送る転送行列の 2 経路で数え、Kasteleyn の積公式と突き合わせた。3 つとも一致する（8×8 で 12,988,816）。掟ありは背理と転送の 2 経路で数え、これも一致する。転送では列の各マスに「横の左半分・右半分・縦の上・下」の 4 つの型を持たせ、隣り合う 2 列のあいだの格子点ごとに「4 マスが 4 つの別のタイル」を禁じる。

結果は小さい数になる。6 畳（3×4）は 11 通りが 4 通りに、8 畳（4×4）は 36 通りが 2 通りに、12 畳（4×6）は 281 通りが 3 通りに落ちる。8 畳の 2 つは互いに 90° 回した形で、正方形の部屋（n×n、n は偶数）は n = 2 から 12 のどれでも畳だけなら 2 通りしかない。もっと大きい部屋では掟が敷き方をほとんど決めてしまう。24 畳（6×8）と 40 畳（8×10）は畳だけなら 1 通りで、48 畳（8×12）と 35 畳（7×10）は 0 通り、つまり半畳を入れないと掟を守れない。

幅を伸ばしたときの伸び方も掟で変わる。高さ 2 の細長い部屋では、掟ありの数は t(n) = t(n−1) + t(n−3)（1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28 と続く）に従い、1 列あたり x³ = x² + 1 の根 1.4656 倍で増える。高さを上げると、掟なし（ドミノ）は 1 列あたりの倍率が 1.62 から 9.0 へと大きくなるのに、掟ありは 1.47 から 1.10 へと小さくなる。掟は部屋が広いほど強く効く。

4 畳半（3×3）は面積が奇数なので畳だけでは埋まらない。半畳を 1 枚許すと 10 通りで、半畳が中央なら 2（風車の左手と右手）、角なら 8、辺の真ん中なら 0。辺の真ん中に半畳を置くと、両脇の畳の角が半畳の角と 1 点に集まって十字ができる。半畳の枚数を増やした帳簿も取った。n×n の部屋に半畳をちょうど n 枚入れた敷き方の数は 3×3 で 12、4×4 で 32、5×5 で 80で、文献の式 n·2^(n−1)（Erickson ら 2011 の定理 2）と一致した。半畳の枚数は n と同じ偶奇しか出ない（面積の偶奇）。

→ ロザンジュ・タイリング（箱に積んだ立方体と 1 対 1・枚数は不変）

→ Wang タイル（並べ方の規則が数を決める）

→ 和柄の対称群

どう作ったか

生成器は generators/tatami.js で、敷き方を2通りに数えている。1 つはマスを順に埋める背理法で、横・縦・半畳の順に置き、置くたびに周囲 4 点に十字ができていないかを調べる。もう 1 つは列ごとの転送で、列の型を列挙し、隣り合う列が十字を作らずに並べるかを判定する（大きな数は BigInt で数える）。掟を外した数は Kasteleyn の積公式とも比べた。2 つの数え方は、試した 8 部屋すべてで一致した。

出典

身近

和室の畳。祝儀敷き・不祝儀敷き・4 畳半の風車（作法の由来は調べていない。ここでは「十字を作らない」という規則だけを使った）

数理

ドミノの数の積公式は R. Kenyon の講義ノート Lectures on dimers（arXiv:0910.3129）の p.23 で、式と「Z_8,8 = 12988816」を確かめた（Kasteleyn の原論文は出版社の人間確認で止まり開けていない）。十字を禁じた敷き方の定義「4 枚のタイルが 1 点で出会わない」は F. Ruskey と J. Woodcock, Counting fixed-height tatami tilings, Electron. J. Combin. 16 (2009) R126 の定義 1.1、「n×n の正方形に半畳 n 枚の敷き方は n·2ⁿ⁻¹」は A. Erickson・F. Ruskey・M. Schurch・J. Woodcock, Monomer-dimer tatami tilings of rectangular regions, Electron. J. Combin. 18 (2011) P109 の p.1（定理 2）で読んだ。祝儀敷きと不祝儀敷きは大建工業の畳のコラム（daiken.jp）の「合わせ目のラインが十字にならないようにする敷き方」「不祝儀敷きはお葬式などで用いられてきました」による。2 本の論文は祝儀・不祝儀に触れていない。ここで確かめたのは自分の数え上げの一致である

親戚

ロザンジュ・タイリング・Wang タイル・織りの数理・和柄の対称群

生成

generators/tatami.js（tatami.svg 4 畳半の風車・tatami-book.svg 帳簿。依存ゼロ・乱数ゼロ）