テーベの墓の天井

なにか

ルクソール西岸のテーベの墓地には、第 18 王朝（前 15 から 14 世紀）の貴族の墓の天井に幾何模様が描かれている。ここで使った一次資料は、メトロポリタン美術館のエジプト調査団が 1920 年代から 30 年代に原寸で写した模写（Nina de Garis Davies と Charles K. Wilkinson、テンペラ、パブリックドメイン）と、同館が所蔵するセネンムウトの墓礼拝堂の天井画の実物片である。ネブアメンとイプキの墓（TT181）の「8 つの天井模様」、ケナムンの墓（TT93）の 2 枚、セネンムウトの墓（TT71）の模写と実物片 5 点、あわせて 8 点を見た。

問いは「天井の模様は 17 の壁紙群のどれを使っているか」。模写の彫刻や色をそのまま数えるのではなく、模写に見える型を規則で作り直し（印の集合を単位格子に置く）、その印の集合の対称操作を機械で総当たりして群に落とす。同定されるのは規則のほうで、模写の絵ではない。色は数えていない。

6 つの型と 6 つの群

模写に見える型は 6 つに分けた。①渦の格子は、格子点から同じ手の腕が 4 本出て隣と噛み合い、隙間にロゼットが入る（TT181 の 1 番、TT71）。②菱形の格子は、入れ子の菱形を斜めの格子に敷き、隙間に十字花を置く（TT181 の 2 番、TT71）。③ジグザグとロゼットは、同じ向きのジグザグの帯を等間隔に重ね、菱形の隙間にロゼットを入れる（TT181 の 3・5・7 番、TT93、TT71）。④ロゼットの敷き詰めは、円いロゼットを六方に詰める（TT181 の 6 番）。⑤掌状葉の渦は、渦の帯で囲んだ円の中に左右対称の掌状葉を置き、両脇に左右で手の違う渦を添える（TT93）。⑥輪と渦は、格子点の輪を同じ手の S 字でつなぐ（TT181 の 8 番）。

それぞれの印の集合を 1/4 刻みの 16 の中心で回転（6・4・3・2）、15° 刻みの向きで鏡映、鏡映でない映進（軸の位置と送りを振る）を総当たりして、回転の最大位数・鏡映の方向の数・映進の有無の 3 つから判定表で群に落とす。結果は渦の格子 p4・菱形の格子 p4m・ジグザグとロゼット pmg・ロゼットの敷き詰め p6m・掌状葉の渦 pm・輪と渦 p2で、見立てと 6 つとも一致した。群は 6 種。3 回対称の群（p3・p3m1・p31m）と 6 回でも鏡映のない p6 は現れない。

判定表の答え合わせには和柄の 4 文様を使った。市松と七宝が p4m、麻の葉が p6m、青海波が cm で、4 つとも既知の群に落ちた。

渦は鏡映を持てない

渦（螺旋）は巻きの向き、つまり手を持つ。鏡に映すと手が変わるので、渦を含む模様は鏡映を対称操作に持てない。だから渦の格子は 4 回の回転があっても p4m や p4g にはならず p4 で、輪と渦は p2 で止まる。掌状葉の渦が pm なのは、円の両脇に手の違う渦を左右対称に置いているからで、鏡映は渦でなく配置から来る。渦の格子の手を市松に入れ替えると、隣どうしが鏡像になるので鏡映が 2 方向に戻り、p4g になる。模写の渦はすべて同じ手で、p4g の天井はこの 8 点にはない。

道具の罠が 1 つ。和柄の検査機の対称判定は、判定に使う内側の点の半径を窓の最大半径の 0.55 倍に取る。この最大半径はいちばん遠い隅までの距離なので、窓が正方でない模様（青海波は横 19 に縦 9）では上下の端の段まで内側に入ってしまい、送りのある映進で像が窓の外に出て「対称でない」と誤答した。青海波の映進が見つからず pm になり、和柄の号で手で付けた cm と食い違った。この号を書いたときは半径の割合を 0.35 に下げて回避したが、その後和柄の号の道具そのものを直した（移した先が標本の外枠を出た点は判定から外す＝窓の外は「違う」ではなく「見えない」）。いまはこの号も既定の 0.55 のままで 4 文様・6 つの型ともに同じ答えが出る。罠は検査に残してある。

→ 和柄の対称群（17 群と検査機）

→ ミトラの階段雷文（渦巻きと階段の取り引き）

→ Spectre（片手性のタイル。鏡映線がない）

どう作ったか

生成器は generators/thebes-ceiling.js で、正方と六方の単位格子の窓に印を置き、6 つの型の規則で模様を作ってから、対称操作を総当たりして 17 群の判定表に通している。判定には和柄の対称群と同じ方法を使い、回転の中心の候補を 16 に増やし、映進は軸と送りを振って探した。和柄 4 文様が既知の群（p4m・p4m・p6m・cm）に落ちることで、判定そのものを確かめてある。模写の画像は載せず、Met のオブジェクト番号で引けるようにした。

出典

一次資料

メトロポリタン美術館（パブリックドメイン・オブジェクト番号で検索できる）: 548580「Eight Ceiling Patterns, Tomb of Nebamun and Ipuky」（Nina de Garis Davies・前 1386〜1330 年ごろ）／548305・557676「Ceiling Pattern, Tomb of Qenamun」（Davies・Wilkinson・前 1479〜1396 年ごろ）／549067・549069・549070・549071「Ceiling Painting from the Tomb Chapel of Senenmut」（実物片・泥漆喰に彩色・前 1473〜1458 年ごろ）／544565「Two Fragments of Ceiling Patterns, Tomb of Senenmut」（Davies）。すべて Rogers Fund 1923〜1931

数理

17 の壁紙群（Fedorov 1891・Pólya 1924。原論文は開いていない。Healy ほか arXiv:2102.12972 の p.2 が「17 種であることは 1891 年に Fedorov が、1924 年に独立に Pólya が証明した」と書いているのを確かめた）。判定表は回転の最大位数・鏡映の方向の数・映進の有無による標準の分類。ここで確かめたのは、印の集合の対称操作の総当たりと、判定表の答え合わせだけ

身近

包装紙・タイルの目地・織物の地紋。渦を含む柄が鏡で写すと別の柄になること

親戚

和柄の対称群・ミトラの階段雷文・Spectre・アンデスの噛み合う魚

生成

generators/thebes-ceiling.js（thebes-ceiling.svg 渦の格子・thebes-ceiling-book.svg 6 つの型と群の帳簿）